分析 (1)當a=$\frac{e+1}{2}$時,求出f′(x)=-(e+1)x+xex,利用導數(shù)的幾何意義能出f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程.
(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a),由此根據(jù)a≥0,-$\frac{1}{2}$<a<0,a=-$\frac{1}{2}$,a<-$\frac{1}{2}$,利用導數(shù)性質(zhì)能討論f(x)的單調(diào)性.
(3)推導出x1=ln(-2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),f(x1)+f(x2)=ax12+(x1-1)${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1,由此利用導性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍.
解答 (本題滿分12分)
解:(1)當a=$\frac{e+1}{2}$時,f(x)=$\frac{e+1}{2}$x2+(x-1)ex,
∴f(1)=$\frac{e+1}{2}$,
f′(x)=-(e+1)x+xex,∴f′(1)=-1
切線方程為:y+$\frac{e+1}{2}$=-(x-1),
即:2x+2y+e-1=0.…(4分)
(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a)
①當2a≥0即a≥0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當-$\frac{1}{2}$<a<0時,f(x)在(-∞,ln(-2a))上單調(diào)遞增,
在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當a=-$\frac{1}{2}$時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
④當a<-$\frac{1}{2}$ 時,f(x)在(-∞,0))上單調(diào)遞增,
在(0,ln(-2a))上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增.…(8分)
(3)由(2)知,當-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{2e}$<0時,
f(x)在(-∞,ln(-2a))上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x1=ln(-2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),
f(x1)+f(x2)=ax12+(x1-1)${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1
∵x1=ln(-2a),∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$,
∴f(x1)+f(x2)=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x12+(x1-1)${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$(-$\frac{1}{2}$x12+x1-1)-1
∵-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{2e}$,∴$\frac{1}{e}$<-2a<1,∴-1<x1=ln(-2a)<0,
令ϕ(x)=ex (-$\frac{1}{2}$x2+x-1)-1(-1<x<0)
∴ϕ′(x)=ex (-$\frac{1}{2}$x2)<0∴ϕ(x)在(-1,0)單調(diào)遞減
∴ϕ(0)<ϕ(x)<ϕ(-1)
即-2<ϕ(x)<-$\frac{5}{2e}$-1
∴所有極值的和的取值范圍為(-2,-$\frac{5}{2e}-1$).…(12分)
點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程,考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.
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A. | 3x+4y-12=0或4x-3y+9=0 | B. | 3x+4y-12=0或x=0 | ||
C. | 4x-3y+9=0或x=0 | D. | 3x-4y+12=0或4x+3y+9=0 |
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A. | 18 | B. | 18$\sqrt{3}$ | C. | 36 | D. | 36$\sqrt{6}$ |
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