16.已知函數(shù)f(x)=ax2+(x-1)ex
(1)當a=-$\frac{e+1}{2}$時,求f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程;
(2)討論f(x)的單調(diào)性;
(3)當-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{2e}$時,f(x)是否存在極值?若存在,求所有極值的和的取值范圍.

分析 (1)當a=$\frac{e+1}{2}$時,求出f′(x)=-(e+1)x+xex,利用導數(shù)的幾何意義能出f(x)在點P(1,f(1))處的切線方程.
(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a),由此根據(jù)a≥0,-$\frac{1}{2}$<a<0,a=-$\frac{1}{2}$,a<-$\frac{1}{2}$,利用導數(shù)性質(zhì)能討論f(x)的單調(diào)性.
(3)推導出x1=ln(-2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),f(x1)+f(x2)=ax12+(x1-1)${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1,由此利用導性質(zhì)能求出所有極值的和的取值范圍.

解答 (本題滿分12分)
解:(1)當a=$\frac{e+1}{2}$時,f(x)=$\frac{e+1}{2}$x2+(x-1)ex,
∴f(1)=$\frac{e+1}{2}$,
f′(x)=-(e+1)x+xex,∴f′(1)=-1
切線方程為:y+$\frac{e+1}{2}$=-(x-1),
即:2x+2y+e-1=0.…(4分)
(2)f′(x)=2ax+xex=x(ex+2a)
①當2a≥0即a≥0時,f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
②當-$\frac{1}{2}$<a<0時,f(x)在(-∞,ln(-2a))上單調(diào)遞增,
在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增;
③當a=-$\frac{1}{2}$時,f(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增;
④當a<-$\frac{1}{2}$ 時,f(x)在(-∞,0))上單調(diào)遞增,
在(0,ln(-2a))上單調(diào)遞減,在(ln(-2a),+∞)上單調(diào)遞增.…(8分)
(3)由(2)知,當-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{2e}$<0時,
f(x)在(-∞,ln(-2a))上單調(diào)遞增,在(ln(-2a),0)上單調(diào)遞減,在(0,+∞)上單調(diào)遞增,
∴x1=ln(-2a)為極大值點,x2=0為極小值點,所有極值的和即為f(x1)+f(x2),
f(x1)+f(x2)=ax12+(x1-1)${e}^{{{x}_{1}}^{{\;}^{\;}}}$-1
∵x1=ln(-2a),∴a=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$,
∴f(x1)+f(x2)=-$\frac{1}{2}$${e}^{{x}_{1}}$x12+(x1-1)${e}^{{x}_{1}}$-1=${e}^{{x}_{1}}$(-$\frac{1}{2}$x12+x1-1)-1
∵-$\frac{1}{2}$<a<-$\frac{1}{2e}$,∴$\frac{1}{e}$<-2a<1,∴-1<x1=ln(-2a)<0,
令ϕ(x)=ex (-$\frac{1}{2}$x2+x-1)-1(-1<x<0)
∴ϕ′(x)=ex (-$\frac{1}{2}$x2)<0∴ϕ(x)在(-1,0)單調(diào)遞減
∴ϕ(0)<ϕ(x)<ϕ(-1)
即-2<ϕ(x)<-$\frac{5}{2e}$-1
∴所有極值的和的取值范圍為(-2,-$\frac{5}{2e}-1$).…(12分)

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值與最值、切線方程,考查了恒成立問題的等價轉(zhuǎn)化方法,考查了推理能力與計算能力,屬于難題.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

13.在等比數(shù)列{an}中,已知a4=8a1,且a1,a2+1,a3成等差數(shù)列.
(I)求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求數(shù)列{|an-4|}的前n項和Sn

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

7.已知函數(shù)f(x)=2|cosx|sinx+sin2x,給出下列四個命題:
①函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線$x=\frac{π}{4}$對稱;
②函數(shù)f(x)在區(qū)間$[-\frac{π}{4},\frac{π}{4}]$上單調(diào)遞增;
③函數(shù)f(x)的最小正周期為π;
④函數(shù)f(x)的值域為[-2,2].
其中真命題的序號是②④.(將你認為真命題的序號都填上)

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

4.函數(shù)f(x)=ln$\frac{1}{1-x}$的定義域為(-∞,1).

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

11.據(jù)某市地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院的數(shù)據(jù)顯示,2016年該市新建住宅銷售均價走勢如圖所示,為抑制房價過快上漲,政府從8月份采取宏觀調(diào)控措施,10月份開始房價得到很好的抑制.

(Ⅰ)地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院研究發(fā)現(xiàn),3月至7月的各月均價y(萬元/平方米)與月份x之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系,試建立y關(guān)于x的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),政府若不調(diào)控,依次相關(guān)關(guān)系預測第12月份該市新建住宅銷售均價;
(Ⅱ)地產(chǎn)數(shù)據(jù)研究院在2016年的12個月份中,隨機抽取三個月份的數(shù)據(jù)作樣本分析,若關(guān)注所抽三個月份的所屬季度,記不同季度的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學期望.
參考數(shù)據(jù):$\sum_{i=1}^{5}{x}_{i}$=25,$\sum_{i=1}^{5}{y}_{i}$=5.36,$\sum_{i=1}^{5}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})$=0.64
回歸方程$\widehat{y}$=$\widehat$x+$\widehat{a}$中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為:
$\widehat$=$\frac{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})({y}_{i}-\overline{y})}{\sum_{i=1}^{n}({x}_{i}-\overline{x})^{2}}$,$\widehat{a}$=$\overline{y}$-$\widehat$$\overline{x}$.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

1.設圓x2+y2-2x-2y-2=0的圓心為C,直線l過(0,3)與圓C交于A,B兩點,若$|{AB}|=2\sqrt{3}$,則直線l的方程為( 。
A.3x+4y-12=0或4x-3y+9=0B.3x+4y-12=0或x=0
C.4x-3y+9=0或x=0D.3x-4y+12=0或4x+3y+9=0

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

8.已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{27}$=1的左、右焦點分別為F1、F2,且F2為拋物線y2=2px的焦點,設P為兩曲線的一個公共點,則△PF1F2的面積為(  )
A.18B.18$\sqrt{3}$C.36D.36$\sqrt{6}$

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

5.在一個盒子中,放有標號分別為1、2、3的三張卡片.現(xiàn)從這個盒子中隨機抽取一張卡片,標號記為x,放回盒子后再隨機抽取一張,標號記為y,設ξ=|x-2|+|y-x|
(1)求隨機變量ξ的最大值,并求事件“ξ取得最大值”的概率;
(2)求隨機變量ξ分布列和數(shù)學期望.

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題

6.橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的一個焦點為F,該橢圓上有一點A,滿足△OAF是等邊三角形(O為坐標原點),則橢圓的離心率$\sqrt{3}$-1.

查看答案和解析>>

同步練習冊答案