Question

19．已知過雙曲線Г：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)F₂作圓x²+y²=a²的切線，交雙曲線Г的左支交于點(diǎn)A，且AF₁⊥AF₂，則雙曲線的漸近線方程是（　�。�

• A． y=±2x
• B． y=±$\frac{1}{2}$x
• C． y=±$\frac{\sqrt{5}}{2}$x
• D． y=±$\sqrt{5}$x

Answer 1

分析 設(shè)切點(diǎn)為M，連接OM，運(yùn)用切線的性質(zhì)，以及中位線定理，可得AF₁=2a，由雙曲線的定義，可得AF₂=2a+AF₁=4a，再由勾股定理，可得c²=5a²，結(jié)合a，b，c的關(guān)系，可得b=2a，進(jìn)而得到雙曲線的漸近線方程．

解答 解：設(shè)切點(diǎn)為M，連接OM，
可得OM⊥AF₂，
AF₁⊥AF₂，可得AF₁∥OM，
且OM=a，AF₁=2a，
由雙曲線的定義，可得AF₂=2a+AF₁=4a，
在直角三角形AF₁F₂中，
AF₁²+AF₂²=F₁F₂²，
即為4a²+16a²=4c²，
即有c²=5a²，
由c²=a²+b²，可得b=2a，
可得雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
即為y=±2x．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義、方程和性質(zhì)，主要是漸近線方程的求法，注意運(yùn)用直線和圓相切的條件和中位線定理、勾股定理，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．