Question

17．在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的坐標(biāo)是（1，0），曲線C的方程為ρ=2$\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$．以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，斜率為-1的直線l經(jīng)過點(diǎn)P．
（1）寫出直線l的參數(shù)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（2）若直線l和曲線C相交于兩點(diǎn)A，B，求|PA|²+|PB|²的值．

Answer 1

分析 （1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)極坐標(biāo)方程，兩邊同乘ρ，然后求解直角坐標(biāo)方程．
（2）求出直線參數(shù)方程，代入圓的方程，根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義，求解|PA|²+|PB|²即可．

解答 （本小題滿分10分）
解（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程$ρ=2\sqrt{2}cos（θ-\frac{π}{4}）$可得，ρ²=2ρcosθ+2ρsinθ，因此曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=2x+2y
點(diǎn)P的直角坐標(biāo)為（1，0），直線l的傾斜角為135°，所以直線l的參數(shù)方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）．（5分）
（2）將$\left\{{\begin{array}{l}{x=1-\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\\{y=\frac{{\sqrt{2}}}{2}t}\end{array}}\right.（t$為參數(shù)）代入x²+y²=2x+2y，有${t^2}-\sqrt{2}t-1=0$，
設(shè)A，B對(duì)應(yīng)參數(shù)分別為t₁，t₂，有${t_1}+{t_2}=\sqrt{2}，{t_1}{t_2}=-1$，根據(jù)直線參數(shù)方程t的幾何意義有，|PA|²+|PB|²=$t_1^2+t_2^2={（{t_1}+{t_2}）^2}-2{t_1}{t_2}=4$．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的極坐標(biāo)方程以及直線的參數(shù)方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．