Question

5．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，若f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{2}（x+1），x∈[0，1）}\\{\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}，x∈[1，+∞）}\end{array}\right.$，則關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和為（　�。�

• A． 1-（$\frac{1}{2}$）^a
• B． （$\frac{1}{2}$）^a-1
• C． 1-2^a
• D． 2^a-1

Answer 1

分析 由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個(gè)根，從左向右分別為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則x₁+x₂=-6，-log₂（1-x₃）=-a，x₄+x₅=6，即可得出關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和．

解答 解：由題意，關(guān)于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）共有5個(gè)根，從左向右分別為x₁，x₂，x₃，x₄，x₅，則
x≥1，f（x）=$\frac{1}{2}{x}^{2}-3x+\frac{7}{2}$，對(duì)稱軸為x=3，根據(jù)對(duì)稱性，x≤-1時(shí)，函數(shù)的對(duì)稱軸為x=-3
∴x₁+x₂=-6，x₄+x₅=6，
∵0＜x＜1，f（x）=log₂（x+1），
∴-1＜x＜0時(shí)，0＜-x＜1，f（x）=-f（-x）=-log₂（-x+1），
∴-log₂（1-x₃）=-a，
∴x₃=1-2^a，
∴x₁+x₂+x₃+x₄+x₅=-6+1-2^a+6=1-2^a，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性，考查方程根之和問題，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．