Question

已知函數(shù)f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）f（x）的最大值與最小值，以及函數(shù)取得最值時(shí)x的集合；
（3）函數(shù)如何從y=sinx的圖象得到的？

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先將函數(shù)化為正弦型f（x）=

2

sin（4x-

π

3

），
（1）根據(jù)ω=4，f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，f（x）取最小值為-

2

；當(dāng)4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，f（x）取最大值為

2

，進(jìn)而可函數(shù)取得最值時(shí)x的集合；
（3）利用正弦型函數(shù)圖象變換規(guī)律可得從y=sinx的圖象得到函數(shù)圖象的變換方式；

解答： 解：（1）f（x）=

2

sin2xcos2x-

6

cos²2x+

6

2

=

2

2

sin4x-

6

2

cos4x=

2

sin（4x-

π

3

）
∵ω=4，
∴f（x）得最小正周期為T(mén)=

2π

4

=

π

2

；…4分
（2）當(dāng)4x-

π

3

=2kπ-

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ-

π

24

，k∈Z}時(shí)，f（x）取最小值為-

2

；
當(dāng)4x-

π

3

=2kπ+

π

2

，即x∈{x|x=

1

2

kπ+

5π

24

，k∈Z}時(shí)，f（x）取最大值為

2

；…8分
（3）將函數(shù)y=sinx的圖象向右平移

π

3

單位，
再將得到的函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的

1

4

倍，
再將得到的函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的

2

倍，
可得到函數(shù)f（x）的圖象．…12分．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，求值，圖象變換規(guī)律，均屬常規(guī)知識(shí)和必備能力．