Question

16．對于正整數(shù)n，設(shè)曲線y=xⁿ（1-x）在x=2的切線與平面直角坐標系的y軸交點的縱坐標為a_n，則數(shù)列$\{{log_2}\frac{a_n}{n+1}\}$的前10項等于55．

Answer 1

分析 欲求數(shù)列$\{{log_2}\frac{a_n}{n+1}\}$的前10項和，必須求出在x=2處的切線方程，須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=2處的導函數(shù)值，再結(jié)合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率即得直線方程進而得到切線與y軸交點的縱坐標．最后利用對數(shù)的運算性質(zhì)和等差數(shù)列的求和公式計算，從而問題解決．

解答 解：y′=nx^n-1-（n+1）xⁿ，
曲線y=xⁿ（1-x）在x=2處的切線的斜率為k=n•2^n-1-（n+1）•2ⁿ，
切點為（2，-2ⁿ），
所以切線方程為y+2ⁿ=k（x-2），
令x=0得a_n=（n+1）2ⁿ，
令b_n=log₂$\frac{{a}_{n}}{n+1}$．
數(shù)列{b_n}的前10項和為log₂2+log₂2²+log₂2³+…+log₂2¹⁰
=1+2+3+…+10=$\frac{1}{2}$×10×11=55．
故答案為：55．

點評 本題考查應(yīng)用導數(shù)求曲線切線的斜率，數(shù)列通項公式以及等差數(shù)列的前n項和的公式．解后反思：應(yīng)用導數(shù)求曲線切線的斜率時，要首先判定所經(jīng)過的點為切點．否則容易出錯．