Question

7．某學校高三年級800名學生在一次百米測試中，成績全部在12秒到17秒之間，抽取其中50個樣本，將測試結果按如下方式分成五組：第一組[12，13），第二組[13，14），…，第五組[16，17]，如圖是根據上述分組得到的頻率分布直方圖．
（1）若成績小于13秒被認為優(yōu)秀，求該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數；
（2）請估計本次測試的平均成績；
（3）若樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，現從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，求所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，先求出成績小于13秒的頻率，由此能求出該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數．
（2）由頻率分布直方圖能估計本次測試的平均成績．
（3）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08，從而得到第一組有3人，第五組有4人，進而第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，現從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，利用列興法能求出所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生的概率．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，得成績小于13秒的頻率為0.06，
∴該樣本在這次百米測試中成績優(yōu)秀的人數為：0.06×50=3（人）．┅┅┅┅3分
（2）由頻率分布直方圖估計本次測試的平均成績?yōu)椋?br />12.5×0.06+13.5×0.16+14.5×0.38+15.5×0.32+16.5×0.08=14.7┅┅┅┅┅┅┅6分
（3）由頻率分布直方圖，得第一組的頻率為0.06，第五組的頻率為0.08，
∴第一組有50×0.06=3人，第五組有50×0.08=4人，…7分
∵樣本中第一組只有一名女生，第五組只有一名男生，
∴第一組中有1名女生2名男生，第五組中有3名女生1名男生，
現從第一、第五組中各抽取1名學生組成一個實驗組，
設第一組中三人分別為a₁，a₂，a₃，其中a₁為女生，第五組中四人分別為b₁，b₂，b₃，b₄，其中b₁為男生，
則基本時間空間為Ω={（a₁，b₁）（a₁，b₂）（a₁，b₃）（a₁，b₄）（a₂，b₁）（a₂，b₂）（a₂，b₃）
（a₂，b₄）（a₃，b₁）（a₃，b₂）（a₃，b₃）（a₃，b₄）}
n=12，┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅9分
所抽取的2名同學中恰好為一名男生和一名女生，包含的基本事件個數m=7，
∴所求概率為p=$\frac{m}{n}$=$\frac{7}{12}$．┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅┅12分．

點評 本題考查頻率分布直方圖的應用，考查概率的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意列舉法的合理運用．