Question

已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）記函數(shù)的圖象為曲線，設(shè)點(diǎn)是曲線上的不同兩點(diǎn)．如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”，試問(wèn)：函數(shù)是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和；（2）函數(shù)不存在“中值相依切線”.

試題分析：（1）當(dāng)時(shí)，分和兩種情況分別進(jìn)行分析，當(dāng)時(shí), , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), ，令,解得或;所以當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增；（2）先設(shè)是曲線上的不同兩點(diǎn)，求出的表達(dá)式化簡(jiǎn)得到：，再經(jīng)過(guò)求導(dǎo)分析得出函數(shù)不存在“中值相依切線”.
試題解析：（1）函數(shù)的定義域是. 由已知得， 
當(dāng)時(shí), , 顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí), ，令,解得或; 
函數(shù)在和上單調(diào)遞增，
綜上所述:①當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時(shí),函數(shù)在和上單調(diào)遞增；
（2）假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”
設(shè)是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，
則，.
  
曲線在點(diǎn)處的切線斜率  
依題意得： 
化簡(jiǎn)可得： ， 即= 
設(shè) ()，上式化為：,
.  令,
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035425151356.png" style="vertical-align:middle;" />,顯然，所以在上遞增,
顯然有恒成立.  所以在內(nèi)不存在,使得成立.
綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”.