Question

若函數(shù)在上為增函數(shù)（為常數(shù)），則稱為區(qū)間上的“一階比增函數(shù)”，為的一階比增區(qū)間.
(1) 若是上的“一階比增函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
(2) 若  (，為常數(shù))，且有唯一的零點(diǎn)，求的“一階比增區(qū)間”；
(3)若是上的“一階比增函數(shù)”，求證：，

Answer 1

(1)  (2)

試題分析：
(1)根據(jù)新定義可得在區(qū)間上單調(diào)遞增,即導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上恒成立,則有,再利用分離參數(shù)法即可求的a的取值范圍.
(2)對(duì)求導(dǎo)數(shù),求單調(diào)區(qū)間,可以得到函數(shù)有最小值,又根據(jù)函數(shù) 只有一個(gè)零點(diǎn),從而得到,解出的值為1,再根據(jù)的“一階比增區(qū)間”的定義,則的單調(diào)增區(qū)間即為的“一階比增區(qū)間”.
(3)根據(jù)是上的“一階比增函數(shù)”的定義,可得到函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,則由函數(shù)單調(diào)遞增的定義可得到,同理有,兩不等式化解相加整理即可得到.
試題解析：
(1)由題得, 在區(qū)間上為增函數(shù),則在區(qū)間上恒成立,即,綜上a的取值范圍為.
(2)由題得,(),則,當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035522309444.png" style="vertical-align:middle;" />,所以, .因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035523027582.png" style="vertical-align:middle;" />,所以函數(shù) 在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,即 .又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035522341675.png" style="vertical-align:middle;" />有唯一的零點(diǎn),所以(使解得帶入驗(yàn)證),故 的單調(diào)增區(qū)間為.即的“一階比增區(qū)間”為.
(3)由題得,因?yàn)楹瘮?shù) 為上的“一階比增函數(shù)”,所以在區(qū)間上的增函數(shù),又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824035523261585.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
……1,同理, ……2,則1+2得
,所以，.