Question

8．在底面是正三角形的三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁⊥平面ABC，E，F(xiàn)分別為BB₁，AC的中點(diǎn)．
（1）求證：BF∥平面A₁EC；
（2）若AA₁=2$\sqrt{2}$，求二面角C-EA₁-A的大�。�

Answer 1

分析 （1）取A₁C的中點(diǎn)H，連結(jié)HE，HF，推導(dǎo)出四邊形EBFH為平行四邊形，由此能證明BF∥平面A₁EC．
（2）設(shè)AB中點(diǎn)為G，連結(jié)EG，CG，推導(dǎo)出∠GEC為二面角C-EA₁-A的平面角，由此能求出二面角C-EA₁-A的大�。�

解答 證明：（1）取A₁C的中點(diǎn)H，連結(jié)HE，HF，
則HF∥A₁A，HF=$\frac{1}{2}$A₁A，
∴EB∥HF，且EB=HF，
∴四邊形EBFH為平行四邊形，
∴BF∥EH，且EH?平面A₁EC，BF?平面A₁EC，
∴BF∥平面A₁EC．
解：（2）設(shè)AB中點(diǎn)為G，連結(jié)EG，CG，
∵CG⊥AB，CG⊥AA₁，AB∩AA₁=A，
∴CG⊥平面BAA₁B₁，∴CG⊥EA₁，且EC=A₁E=$\sqrt{6}$，A₁C=2$\sqrt{3}$，
∴${A}_{1}{E}^{2}$+EC²=${A}_{1}{C}^{2}$，∴EC⊥EA₁，
∵CG∩EC=C，∴EA₁⊥平面EGC，∴EG⊥EA₁，
∴∠GEC為二面角C-EA₁-A的平面角，
且EG=GC=$\sqrt{3}$，EC=$\sqrt{6}$，
∴∠GEC=45°．
∴二面角C-EA₁-A的大小為45°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的證明，考查二面角的大小的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．