Question

【題目】已知⊙的半徑為，圓心的坐標(biāo)為，其中．，為該圓的兩條切線，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，為切點(diǎn)，在第一象限，在第四象限．

（）若時(shí)，求切線，的斜率．

（）若時(shí)，求外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

（）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將表示成的函數(shù)，并求函數(shù)的最小值．

Answer 1

【答案】(1)斜率為，為．

(2).

(3).

【解析】分析：（1）設(shè)出切線方程，根據(jù)圓心到切線的距離等于半徑可得斜率．（2）由題意外接圓的圓心在軸上，設(shè)為．結(jié)合平面幾何的有關(guān)知識可得圓心為，半徑為，進(jìn)而可得圓的方程．（3）結(jié)合（2）中的結(jié)論可得點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得向量的坐標(biāo)，然后根據(jù)數(shù)量積的結(jié)果和函數(shù)的單調(diào)性可得所求．

詳解：（）當(dāng)時(shí)，圓的方程為．

由題意得過點(diǎn)的圓的切線的斜率存在，設(shè)其方程為，

由直線和圓相切得，

解得．

所以斜率為，為．

（）由題意外接圓的圓心在軸上，設(shè)為，

由平面幾何知識得，

可得，．

又，

即，

解得．

所以外接圓圓心為，半徑為．

所以圓．

（）由（）知，

可得，，

所以，，，

所以．

所以，

易得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為．