Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=3，若對于任意的正整數(shù)n都有a_n+1=2a_n+3．
（1）設(shè)b_n=a_n+3，求證：數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式,等比關(guān)系的確定

專題：點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）把給出的遞推式兩邊同時加3，整理變形后結(jié)合b_n=a_n+3證得答案；
（2）由（1）中所證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，代入b_n=a_n+3求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答： （1）證明：由a_n+1=2a_n+3，得：
a_n+1+3=2（a_n+3），
∵a₁=3，
∴a₁+3=6≠0，
∴

an+1+3

an+3

=2，
即

bn+1

bn

=2．
∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列；
（2）由數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
且b₁=6，q=2，
得bn=b1qn-1=6•2n-1，
∴a_n+3=6•2^n-1，
則an=6•2n-1-3．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，是中檔題．