Question

11．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}}$）-2cos²$\frac{π}{8}$x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 （1）首先通過三角恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期公式可求最小正周期．
（2）利用正弦函數(shù)的值域可求函數(shù)最大值，令：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），即可解得函數(shù)的遞增區(qū)間，令$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），即可解得函數(shù)的遞減區(qū)間．

解答 解：（1）∵f（x）=sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{6}}$）-2cos2$\frac{π}{8}$x+1
=sin（$\frac{π}{4}$x）cos$\frac{π}{6}}$-cos（$\frac{π}{4}$x）sin$\frac{π}{6}}$-cos$\frac{π}{4}$x
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin$\frac{π}{4}$x-$\frac{3}{2}$cos$\frac{π}{4}$x
=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
∴最小正周期為：T=$\frac{2π}{\frac{π}{4}}$=8．
（2）∵f（x）=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$），
∴函數(shù)的最大值為：$\sqrt{3}$，
∴令：-$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{π}{2}$+2kπ（k∈Z），解得：8k-$\frac{2}{3}$≤x≤8k+$\frac{10}{3}$（k∈Z）
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為：x∈[8k-$\frac{2}{3}$，8k+$\frac{10}{3}$]（k∈Z）
令：$\frac{π}{2}$+2kπ≤$\frac{π}{4}$x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ（k∈Z），解得：8k+$\frac{10}{3}$≤x≤8k+$\frac{22}{3}$（k∈Z）
∴函數(shù)的遞減區(qū)間為：x∈[8k+$\frac{10}{3}$，8k+$\frac{22}{3}$]（k∈Z）．

點評 本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，求函數(shù)的最值，最小正周期，單調(diào)區(qū)間，屬于基礎(chǔ)題型．