Question

.已知圓O：x²+y²=b²與直線l：y=

3

(x-2)相切．
（1）求以圓O與y軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線在x軸上的截距為半長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓C方程；
（2）已知點(diǎn)A(1，

3

2

)，若直線與橢圓C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)E，F(xiàn)，且直線AE的斜率與直線AF的斜率互為相反數(shù)；問直線的斜率是否為定值？若是求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橹本�l：y=

3

(x-2)在x軸上的截距為2，所以a=2．由直線與圓相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)直線AE方程為y=k(x-1)+

3

2

，代入

x2

4

+

y2

3

=1得(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0．設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），因?yàn)辄c(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k．由此能求出直線EF的斜率為

1

2

．

解答：解：（1）因?yàn)橹本�l：y=

3

(x-2)在x軸上的截距為2，
所以a=2，…（2分）
直線的方程變?yōu)?span id="ki022wo" class="MathJye">

3

x-y-2

3

=0，
由直線與圓相切得

|-2 3 |

( 3 )2+(-1)2

=

3

=b…（4分）
所以橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1…（5分）
（2）設(shè)直線AE方程為y=k(x-1)+

3

2

，…（6分）
代入

x2

4

+

y2

3

=1得：(3+4k2)x2+4k(3-2k)x+4(

3

2

-k)2-12=0…（8分）
設(shè)E（x_E，y_E），F(xiàn)（x_F，y_F），
因?yàn)辄c(diǎn)A(1，

3

2

)在橢圓上，
所以xE=

4( 3 2 -k)2-12

3+4k2

，yE=-kxE+

3

2

-k…（10分）
又直線AF的斜率與AE的斜率互為相反數(shù)，
同理可得：xF=

4( 3 2 +k)2-12

3+4k2

，
yF=-kxF+

3

2

+k…（12分）
所以直線EF的斜率為kEF=

yF-yE

xF-xE

=

-k(xE+xF)+2k

xF-xE

=

1

2

…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，綜合性強(qiáng)，是高考的重點(diǎn)，易錯(cuò)點(diǎn)是知識(shí)體系不牢固．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)和圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，解題時(shí)要注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．