精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=kx+b（k＞0，b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A，B．
（1）若弦AB的長為
4
3
，求直線l的方程；
（2）當直線l滿足條件（1）時，求
OA
•
OB
的值．
分析：（1）由題意知b=
1+k2
，又
y=kx+b
x2+2y2-2=0
，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0，由此解得k=1或k=-1（舍）．所以求直線l的方程為x-y+
2
=0．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=2x1x2+
2
(x1+x2) +2，根據(jù)韋達定理得：x1+x2=-
4
3
2
，x1x2=
2
3
，由此得
OA
•
OB
=
2
3
．
解答：解：（1）由題意知：
|b|
1+k2
=1，∴b=
1+k2
，
又
y=kx+b
x2+2y2-2=0
，得（1+2k2）x2+4kbx+2b2-2=0，
∴|AB|=
1+k2
•
2
2
|k|
1+2k2
=
4
3
，
解得k=1或k=-1（舍）．
所以求直線l的方程為x-y+
2
=0．
（2）設A（x1，y1），B（x2，y2），∴
OA
•
OB
=x1x2+y1y2=2x1x2+
2
(x1+x2) +2，
根據(jù)韋達定理得：x1+x2=-
4
3
2
，x1x2=
2
3
，
代入上式，得
OA
•
OB
=
2
3
．
點評：本題考查圓錐曲線和直線的位置關系，解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖所示，已知圓O：x2+y2=1，直線l：y=kx+b（b＞0）是圓的一條切線，且l與橢圓
x2
2
+y2=1交于不同的兩點A、B．
（1）若△AOB的面積等于
2
3
，求直線l的方程；
（2）設△AOB的面積為S，且滿足
6
4
≤S≤
2
6
7
，求
OA
•
OB
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖所示，已知圓O：x2+y2=4，直線m：kx-y+1=0．
（1）求證：直線m與圓O有兩個相異交點；
（2）設直線m與圓O的兩個交點為A、B，求△AOB面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•肇慶一模）（幾何證明選講選做題）
如圖所示，已知圓O的半徑為2，從圓O外一點A引切線AB和割線AD，C為AD與圓O的交點，圓心O到AD的距離為
3
，AB=
15
，則AC的長為
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•衡陽模擬）如圖所示，已知圓O直徑AB=
6
，C為圓O上一點，且BC=
2
，過點B的切線交AC延長線于點D，則DA=
3
3
．

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