Question

設(shè)f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），f（x）為偶函數(shù)，且部分圖象如圖所示，△KML為等腰直角三角形，其中∠KML=90°，|KL|=2．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求在[0，10]上的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，試求a的取值范圍，并求兩根之和．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,正弦函數(shù)的圖象

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）通過(guò)函數(shù)的圖象，利用KL以及∠KML=90°求出A，然后函數(shù)的周期，確定ω，利用函數(shù)是偶函數(shù)求出φ，即可求f（x）的解析式．
（2）由2kπ+π≤

π

2

x≤2kπ+2π，k∈Z，可解得在[0，10]上的單調(diào)遞增區(qū)間．
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則直線y=a和函數(shù)f（x）的圖象在（0，

8

3

）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．

解答： 解：（1）因?yàn)閒（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分圖象如圖所示，
由△KLM為等腰直角三角形，∠KML=90°，|KL|=2．
所以A=1，T=4，因?yàn)門=

2π

ω

，所以ω=

π

2

，
函數(shù)是偶函數(shù)，0＜φ＜π，所以φ=

π

2

，
∴函數(shù)的解析式為：f（x）=sin（

π

2

x+

π

2

）=cos

π

2

x，
（2）∵f（x）=cos

π

2

x，
∴由2kπ+π≤

π

2

x≤2kπ+2π，k∈Z，可解得：4k+2≤x≤4k+4，k∈Z，
∴當(dāng)k=0時(shí)，x∈[2，4]，當(dāng)k=1時(shí)，x∈[6，8]
∴在[0，10]上的單調(diào)遞增區(qū)間是：[2，4]∪[6，8]．
（3）若方程f（x）=a在（0，

8

3

）上有兩個(gè)不同的實(shí)根，則直線y=a和函數(shù)f（x）的圖象在（0，

8

3

）上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，如圖所示：

設(shè)t=

π

2

x，
∵x∈[0，

8

3

]，
∴

π

2

x∈[0，

4π

3

]，
即t∈[0，

4π

3

]，則函數(shù)y=g（t）=cost，t∈[0，

4π

3

]，
當(dāng)t=

4π

3

時(shí)，y=g（t）=-

1

2

，此時(shí)f（x）=m有2個(gè)根，
當(dāng)t=π時(shí)，y=g（t）=-1，此時(shí)f（x）=m有1個(gè)根，
∴要使方程f（x）=a有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則-1＜a＜-

1

2

．
故a的取值范圍為（-1，-

1

2

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)奇偶性的應(yīng)用，考查學(xué)生識(shí)圖能力、計(jì)算能力，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．