Question

設(shè)命題p：方程

x2

a

+

y2

a-1

=1表示雙曲線，命題q：函數(shù)f（x）=x²+（2a-3）x+1有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，如果“p∨q”為真，且“p∧q”為假，求a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合命題的真假

專題：簡(jiǎn)易邏輯

分析：若命題p為真，利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得a（a-1）＜0，解得a的范圍．若命題q為真，則△＞0，解得a范圍．由“p∨q”為真，“p∧q”為假，
可得p與q有且只有一個(gè)為真．

解答： 解：若命題p為真，則a（a-1）＜0，解得0＜a＜1．
若命題q為真，則△=（2a-3）²-4＞0，解得a＜

1

2

或a＞

5

2

．
∵“p∨q”為真，“p∧q”為假，
∴p與q有且只有一個(gè)為真． 
（1）若p真q假，則

0＜a＜1 1 2 ≤a≤ 5 2

，解得

1

2

≤a＜1．
（2）若p假q真，則

a≤0或a≥1 a＜ 1 2 或a＞ 5 2

，解得a≤0或a＞

5

2

．
綜上所述，a的取值范圍是（-∞，0]∪[

1

2

，1)∪(

5

2

，+∞)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、一元二次方程由實(shí)數(shù)根與判別式的關(guān)系、復(fù)合命題的判定方法，考查了推理能力，屬于基礎(chǔ)題．