Question

19．已知函數(shù)f（x）=|x-a|-|x+4|的最大值為5．
（1）若a＞-4，將f（x）寫成分段函數(shù)的形式；
（2）求實(shí)數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）運(yùn)用零點(diǎn)分區(qū)間的方法，討論當(dāng)x≤-4時(shí)，當(dāng)-4＜x＜a時(shí)，當(dāng)x≥a時(shí)，去絕對(duì)值即可得到所求函數(shù)的解析式；
（2）運(yùn)用絕對(duì)值不等式的性質(zhì)||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，可得最大值，解方程可得a．

解答 解：（1）當(dāng)x≤-4時(shí)，f（x）=a-x+x+4=a+4；
當(dāng)-4＜x＜a時(shí)，f（x）=a-x-（x+4）=a-4-2x；
當(dāng)x≥a時(shí)，f（x）=x-a-（x+4）=-a-4．
即有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a+4，x≤-4}\\{a-4-2x，-4＜x＜a}\\{-a-4，x≥a}\end{array}\right.$；
（2）由絕對(duì)值不等式的性質(zhì)可得，
||x-a|-|x+4||≤|（x-a）-（x+4）|=|a+4|，
當(dāng)（x-a）（x+4）≥0，取得等號(hào)．
即有|a+4|=5，
解得a=1或-9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，考查零點(diǎn)分區(qū)間去絕對(duì)值的方法，以及化簡(jiǎn)計(jì)算能力，屬于中檔題．