【題目】如圖,三棱錐中,平面
,,。分別為線段上的點,且。
(1)證明:平面;
(2)求二面角的余弦值。
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】試題分析:(1)要證線面垂直,就是要證線線垂直,題中由平面,可知,再分析已知由得,這樣與垂直的兩條直線都已找到,從而可得線面垂直;(2)求二面角的大小,可心根據定義作出二面角的平面角,求出這個平面角的大小,本題中,由于,平面,因此兩兩垂直,可以他們?yōu)?/span>軸建立空間直角坐標系,寫出圖中各點的坐標,求出平面和平面的法向量,向量的夾角與二面角相等或互補,由此可得結論.
試題解析:(1)證明:由PC平面ABC,DE平面ABC,故PCDE
由CE=2,CD=DE=得CDE為等腰直角三角形,故CDDE
由PCCD=C,DE垂直于平面PCD內兩條相交直線,故DE平面PCD
(2)解:由(1)知,CDE為等腰直角三角形,DCE=,如(19)圖,過點D作DF垂直CE于F,易知DF=FC=EF=1,又已知EB=1,
故FB=2.
由ACB=得DFAC,,故AC=DF=.
以C為坐標原點,分別以的方程為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,則C(0,0,0,),P(0,0,3),A(,0,0),E(0,2,0),D(1,1,0),
設平面的法向量,
由,,
得.
由(1)可知DE平面PCD,故平面PCD的法向量可取為,即.
從而法向量,的夾角的余弦值為,
故所求二面角A-PD-C的余弦值為.
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【題目】小明一家訂閱的晚報會在下午5:30~6:30之間的任何一個時間隨機地被送到,小明一家人在下午6:00~7:00之間的任何一個時間隨機地開始晚餐.
(1)你認為晚報在晚餐開始之前被送到和晚餐開始之后被送到哪一種可能性更大?
(2)晚報在晚餐開始之前被送到的概率是多少?
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【題目】已知集合M={(x,y)|y=f(x)},若對于任意實數對(x1,y1)∈M,存在(x2,y2)∈M,使x1x2+y1y2=0成立,則稱集合M具有∟性,給出下列四個集合:
①M={(x,y)|y=x3﹣2x2+3}; ②M={(x,y)|y=log2(2﹣x)};
③M={(x,y)|y=2﹣2x}; ④M={(x,y)|y=1﹣sinx};
其中具有∟性的集合的個數是( 。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【題目】已知函數f(x)= ,直線y= x為曲線y=f(x)的切線(e為自然對數的底數).
(1)求實數a的值;
(2)用min{m,n}表示m,n中的最小值,設函數g(x)=min{f(x),x﹣ }(x>0),若函數h(x)=g(x)﹣cx2為增函數,求實數c的取值范圍.
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【題目】已知(,且,)是定義在區(qū)間上的奇函數,
(1)求的值和實數的值;
(2)判斷函數在區(qū)間上的單調性,并說明理由;
(3)若且成立,求實數的取值范圍.
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【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)的右焦點為F,上頂點為A,短軸長為2,O為原點,直線AF與橢圓C的另一個交點為B,且△AOF的面積是△BOF的面積的3倍.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,直線l:y=kx+m與橢圓C相交于P,Q兩點,若在橢圓C上存在點R,使OPRQ為平行四邊形,求m的取值范圍.
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