Question

3．函數(shù)f（x）=e^x+x²+x+1與g（x）的圖象關(guān)于直線2x-y-3=0對稱，P，Q分別是函數(shù)f（x），g（x）圖象上的動點，則|PQ|的最小值為2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)f（x）和g（x）關(guān)于直線2x-y-3=0，則利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）到直線的距離的最小值即可．

解答 解：∵f（x）=e^x+x²+x+1，
∴f′（x）=e^x+2x+1，
∵函數(shù)f（x）的圖象與g（x）關(guān)于直線2x-y-3=0對稱，
∴函數(shù)f（x）到直線的距離的最小值的2倍，即可|PQ|的最小值．
直線2x-y-3=0的斜率k=2，
由f′（x）=e^x+2x+1=2，
即e^x+2x-1=0，
解得x=0，
此時對于的切點坐標(biāo)為（0，2），
∴過函數(shù)f（x）圖象上點（0，2）的切線平行于直線y=2x-3，
兩條直線間距離d就是函數(shù)f（x）圖象到直線2x-y-3=0的最小距離，
此時d=$\frac{|-2-3|}{\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}}$=$\sqrt{5}$，
由函數(shù)圖象的對稱性可知，|PQ|的最小值為2d=2$\sqrt{5}$．
故答案為：2$\sqrt{5}$．

點評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及兩點間距離的求解，根據(jù)函數(shù)的對稱性求出函數(shù)f（x）到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．