12．如果三棱錐A-BCD的底面BCD是正三角形，頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，則這樣的三棱錐稱為正三棱錐．給出下列結(jié)論：
①正三棱錐A-BCD中必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD；
②正三棱錐A-BCD所有相對(duì)棱中點(diǎn)連線必交于一點(diǎn)；
③當(dāng)正三棱錐A-BCD所有棱長都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)切球和外接球半徑之比為1：2；
④若正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長均為2，側(cè)面三角形的頂角為40°，過點(diǎn)B的平面分別交側(cè)棱AC，AD于M，N，則△BMN周長的最小值等于$2\sqrt{3}$．
以上結(jié)論正確的是①②④．（寫出所有正確命題的序號(hào)）．

分析 根據(jù)正三棱錐的定義，對(duì)每個(gè)命題進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：①正三棱錐A-BCD中，正三棱錐頂點(diǎn)A在底面BCD上的射影是△BCD的中心，必有AB⊥CD，BC⊥AD，AC⊥BD，正確；
②利用平行四邊形的性質(zhì)，可得正三棱錐A-BCD所有相對(duì)棱中點(diǎn)連線必交于一點(diǎn)，正確；
③當(dāng)正三棱錐A-BCD所有棱長都相等時(shí)，該棱錐內(nèi)切球和外接球半徑之比為1：3，不正確；
④若正三棱錐A-BCD的側(cè)棱長均為2，一個(gè)側(cè)面的頂角為40°，過點(diǎn)B的平面分別交側(cè)棱AC，AD于M，N．則△BMN周長的最小值等于$\sqrt{4+4-2×2×2×（-\frac{1}{2}）}$=2$\sqrt{3}$，故正確．
故答案為①②④．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查空間線面關(guān)系，類比、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．對(duì)于給定數(shù)列{xn}，若存在一個(gè)常數(shù)k∈N*，對(duì)于任意的n∈N*，使得xn+k=xn成立，則稱數(shù)列{xn}是周期數(shù)列，k是數(shù)列{xn}的一個(gè)周期，若k是數(shù)列{xn}的周期，且1，2，…，k-1均不是數(shù)列{xn}的周期，則稱k為數(shù)列{xn}的最小周期．已知數(shù)列{an}的最小周期為4，前n項(xiàng)和為Sn，且4Sn=（an+1）2．
（1）求a1的值；
（2）求數(shù)列{an}通項(xiàng)公式an和前n項(xiàng)和Sn．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

3．函數(shù)f（x）=ex+x2+x+1與g（x）的圖象關(guān)于直線2x-y-3=0對(duì)稱，P，Q分別是函數(shù)f（x），g（x）圖象上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為2$\sqrt{5}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

20．如圖，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=30°，AD是邊BC上的高，則$\overrightarrow{AD}$•$\overrightarrow{AC}$的值等于1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

7．已知偶函數(shù)f（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞減，則滿足$f（{3x+\frac{1}{2}}）＞f（\frac{5}{2}）$的x的取值范圍是（　�。�
A．（-∞，$\frac{2}{3}$）B．（-∞，-1）C．（-l，$\frac{2}{3}$）D．（-∞，-1）∪（$\frac{2}{3}$，+∞）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{x}{x+3}$（x＞0），觀察：f1（x）=f（x）=$\frac{x}{x+3}$，f2（x）=f（f1（x））=$\frac{x}{4x+9}$，
f3（x）=f（f2（x））=$\frac{x}{13x+27}$，f4（x）=f（f3（x））=$\frac{x}{40x+81}$…，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)n∈N*，n≥2時(shí)，fn（x）=f （fn-1（x））=$\frac{x}{{\frac{{{3^n}-1}}{2}x+{3^n}}}$．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

4．已知直線l1：2x-y-3=0，l2：x-my+1-3m=0，m∈R．
（1）若l1∥l2，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）若l2在兩坐標(biāo)軸上有截距相等，求直線l2的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．化簡$\frac{sin15°cos9°-cos66°}{sin15°sin9°+sin66°}$的結(jié)果是（　�。�
A．tan9°B．-tan9°C．tan15°D．-tan15°

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

2．函數(shù)y=3x-x3，x∈[-1，$\sqrt{3}$]的值域是[-2，2]．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案