Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其導(dǎo)函數(shù)f′（x）的圖象過原點(diǎn)．
（1）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值．

Answer 1

分析：（1）先對(duì)函數(shù)f（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)f′（x）=-9建立等量關(guān)系，再結(jié)合基本不等式求出最大值，注意不等式運(yùn)用的條件；
（2）討論滿足f′（x）=0的點(diǎn)附近的導(dǎo)數(shù)的符號(hào)的變化情況，來確定極值點(diǎn)，求出極值即可．

解答：解：f（x）=

1

3

x³-

a+1

2

x²+bx+a，f′（x）=x²-（a+1）x+b
由f′（0）=0得b=0，f′（x）=x（x-a-1）．
（1）存在x＜0，使得f′（x）=x（x-a-1）=-9，
-a-1=-x-

9

x

=（-x）+(-

9

x

)≥2

(-x)．(- 9 x )

=6，
∴a≤-7，
當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時(shí)，a=-7．所以a的最大值為-7．
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

f（x）的極大值f（0）=a＞0，
f（x）的極小值f（a+1）=a-

1

6

（a+1）³

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．