Question

12．已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=2，以極點(diǎn)為原點(diǎn)，以極軸為x軸的正半軸，取相同的單位長(zhǎng)度，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}$得到曲線C′，曲線C′上任一點(diǎn)為M（x₀，y₀），求$\sqrt{3}{x}_{0}$+$\frac{1}{2}{y}_{0}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)）消去參數(shù)可得直線l的普通方程，由ρ=2，兩端平方可得曲線C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}$得到曲線C′的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，化為參數(shù)方程，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2cosθ}\\{{y}_{0}=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）代入$\sqrt{3}{x}_{0}$+$\frac{1}{2}{y}_{0}$即可求得取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由$\left\{\begin{array}{l}{x=2-\frac{1}{2}t}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}t}\end{array}$（t為參數(shù)）消去參數(shù)可得直線l的普通方程為：$\sqrt{3}$x+y-2$\sqrt{3}$-1=0
由ρ=2，兩端平方可得：曲線C的直角坐標(biāo)方程為x²+y²=4…（5分）
（Ⅱ）曲線C經(jīng)過伸縮變換$\left\{\begin{array}{l}{x′=x}\\{y′=2y}\end{array}\right.$得到曲線C′的方程為x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=4，
即$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1  又點(diǎn)M在曲線C′上，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=2cosθ}\\{{y}_{0}=4sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)）
代入$\sqrt{3}$x₀+$\frac{1}{2}$y₀得：$\sqrt{3}$x₀+$\frac{1}{2}$y₀得=$\sqrt{3}$•2cosθ+$\frac{1}{2}$•4sinθ=2$\sqrt{3}$2osθ+2sinθ=4sin（θ+$\frac{π}{3}$），
所以$\sqrt{3}$x₀+$\frac{1}{2}$y₀的取值范圍是[-4，4]…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查參數(shù)方程化普通方程，考查三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，屬于中檔題．