Question

1．某校高一學(xué)生1000人，每周一同時在兩個可容納600人的會議室，開設(shè)“音樂欣賞”與“美術(shù)鑒賞”的校本課程．要求每個學(xué)生都參加．要求第一次聽“音樂欣賞”課的人數(shù)為m（400＜m＜600），其余的人聽“美術(shù)鑒賞”課，從第二次起，學(xué)生可從兩個課中自由選擇，據(jù)以往經(jīng)驗，凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一次會有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會有30%改選“音樂欣賞”，用a_n，b_n分別表示在第n次選“音樂欣賞”課的人數(shù)和選“美術(shù)鑒賞”課的人數(shù)．
（1）若m=500，分別求出第二次，第三次選“音樂欣賞”課的人數(shù)a₂，a₃；
（2）證明數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，并用n表示a_n．

Answer 1

分析 （1）由已知a_n+b_n=1000，根據(jù)凡是這一次選擇“音樂欣賞”的學(xué)生，下一次會有20%改選“美術(shù)鑒賞”，而選“美術(shù)鑒賞”的學(xué)生，下次會有30%改選“音樂欣賞”，即可得出結(jié)論；
（2）由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，a_n+b_n=1000，即可證明數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，并用n表示a_n．

解答 （1）解：由已知a_n+b_n=1000，
又a₁=500，∴b₁=500，…（1分）
∴a₂=0.8a₁+0.3b₁=550，…（2分）
∴b₂=450，
∴a₃=0.8a₂+0.3b₂=440+135=575．…（4分）
（2）證明：①由題意得a_n+1=0.8a_n+0.3b_n，
∴a_n+1=0.8a_n+0.3（1000-a_n）=0.5a_n+300，…（5分）
∴a_n+1-600=$\frac{1}{2}$（a_n-600），…（6分）
∵m∈（400，600），∴a₁-600≠0，
∴數(shù)列{a_n-600}是等比數(shù)列，公比為$\frac{1}{2}$，首項為m-600…（10分）
∴a_n-600=（m-600）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$，
∴a_n=600+（m-600）×$（\frac{1}{2}）^{n-1}$．…（8分）

點評 本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查求數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列遞推式，從而確定數(shù)列的通項．