Question

11．已知直線l：Ax+By+C=0（A、B不全為零）與圓x²+y²=1交于M、N兩點(diǎn)，且|MN|=$\sqrt{3}$，若O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$的值為-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)弦長(zhǎng)關(guān)系求出∠MON的大小，利用數(shù)量積公式即可求出$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$．

解答 解：取MN的中點(diǎn)A，則OA⊥MN，
∵|MN|=$\sqrt{3}$，∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵圓的半徑R=OM=1，
∴sin∠AOM=$\frac{AM}{OM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則∠AOM=60°，可得∠MON=120°．
故$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=1×1×cos120°=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)量積的公式，考查直線與圓相交的性質(zhì)，求出MON的大小是解決本題的關(guān)鍵．