Question

15．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，點(diǎn)E，F(xiàn)滿足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，則BE與DF所成角的正弦值為（　�。�

• A． $\frac{8}{17}$
• B． $\frac{9}{17}$
• C． $\frac{12}{17}$
• D． $\frac{15}{17}$

Answer 1

分析 以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出BE與DF所成角的正弦值．

解答 解：如圖，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中棱長(zhǎng)為4，
∵點(diǎn)E，F(xiàn)滿足$\overrightarrow{{A}_{1}E}$=3$\overrightarrow{E{B}_{1}}$，$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=3$\overrightarrow{F{D}_{1}}$，
∴B（4，4，0），E（4，3，4），D（0，0，0），F(xiàn)（0，1，4），
$\overrightarrow{BE}$=（0，-1，4），$\overrightarrow{DF}$=（0，1，4），
設(shè)異面直線BE與DF所成角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{BE}•\overrightarrow{DF}|}{|\overrightarrow{BE}|•|\overrightarrow{DF}|}$=$\frac{15}{\sqrt{17}•\sqrt{17}}$=$\frac{15}{17}$．
sinθ=$\sqrt{1-（\frac{15}{17}）^{2}}$=$\frac{8}{17}$，
∴BE與DF所成角的正弦值為$\frac{8}{17}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的正弦值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．