【題目】（本小題滿分12分）

已知函數(shù).

(1)求證： ；

(2)若對恒成立，求的最大值與的最小值.

【答案】（1）詳見解析；（2）的最大值為，的最小值為1.

【解析】試題分析：（1）求，由，判斷出，得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，從而；（2）由于，“”等價于“”，“”等價于“”，令，則，對分；；進(jìn)行討論，

用導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定當(dāng)對恒成立時的最大值與的最小值.

（1）由得，

因為在區(qū)間上，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減，

從而.

（2）當(dāng)時，“”等價于“”，“”等價于“”，

令，則，

當(dāng)時，對任意恒成立，

當(dāng)時，因為對任意，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而對任意恒成立.

當(dāng)時 ，存在唯一的使得，

、在區(qū)間上的情況如下表：













因為在區(qū)間上是增函數(shù)，所以，進(jìn)一步“對任意恒成立”

，當(dāng)且僅當(dāng)，即.

綜上所述，當(dāng)且僅當(dāng)時，對任意恒成立.當(dāng)且僅當(dāng)時，對任意恒成立.

所以，若對恒成立，則的最大值為與的最小值1.

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