若在拋物線y=x2上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線y=kx+1對(duì)稱，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

【答案】分析：設(shè)出兩點(diǎn)B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到直線BC方程x=-ky+m，把直線BC方程與拋物線方程聯(lián)立，化為一元二次方程，由韋達(dá)定理求出BC中點(diǎn)，應(yīng)用中點(diǎn)在對(duì)稱軸上，且判別式大于0，可求出k的取值范圍．
解答：解：設(shè)兩點(diǎn)B、C關(guān)于直線y=kx+1對(duì)稱，故可設(shè)直線BC方程為y=-x+m，代入y=x2，得 x2+x-m=0．
設(shè)B（x1，y1）、C（x2，y2），則 BC中點(diǎn)M（x，y），則x==-，y=+m．
∵點(diǎn)M（x，y）在直線y=kx+1上，
∴+m=k（-）+1，
∴m=-．
又∵BC與拋物線交于不同兩點(diǎn)，∴△=+4m＞0．
把m代入得+4（-）＞0化簡(jiǎn)得 ＜2，解得k＜-或k＞．
點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)關(guān)于線的對(duì)稱問(wèn)題，兩條直線垂直的性質(zhì)，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
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在拋物線y=x2上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1=1，x2=3，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為
 
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設(shè)⊙C1，⊙C2，…，⊙Cn是圓心在拋物線y=x2上的一系列圓，它們圓心的橫坐標(biāo)分別記為a1，a2，…，an，已知a1=
1
4
，a1＞a2＞…＞an＞0，若⊙Ck（k=1，2，3，…，n）都與x軸相切，且順次兩圓外切．
（1）求證：{
1
an
}是等差數(shù)列；
（2）求an的表達(dá)式；
（3）求證：a12+a22+…+an2＜
1
4
．

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在拋物線y=x2上依次取兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為x1=1，x2=3，若拋物線上過(guò)點(diǎn)P的切線與過(guò)這兩點(diǎn)的割線平行，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為     ．

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