設(shè)函數(shù),
.
(Ⅰ)若,求
的極小值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的結(jié)論下,是否存在實(shí)常數(shù)和
,使得
和
?若存在,求出
和
的值.若不存在,說(shuō)明理由.
(Ⅲ)設(shè)有兩個(gè)零點(diǎn)
,且
成等差數(shù)列,試探究
值的符號(hào).
(Ⅰ);(Ⅱ)存在這樣的k和m,且
;(Ⅲ)
的符號(hào)為正.
解析試題分析:(Ⅰ)首先由,得到關(guān)于
的兩個(gè)方程,從而求出
,這樣就可得到
的表達(dá)式,根據(jù)它的特點(diǎn)可想到用導(dǎo)數(shù)的方法求出
的極小值; (Ⅱ)由(Ⅰ)中所求的
和
,易得到它們有一個(gè)公共的點(diǎn)
,且
和
在這個(gè)點(diǎn)處有相同的切線
,這樣就可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明
和
分別在這條切線
的上方和下方,兩線的上下方可轉(zhuǎn)化為函數(shù)與0的大小,即證
和
成立,從而得到
和
的值; (Ⅲ)由已知易得
,由零點(diǎn)的意義,可得到關(guān)于
兩個(gè)方程,根據(jù)結(jié)構(gòu)特征將兩式相減,得到關(guān)于
的關(guān)系式
,又對(duì)
求導(dǎo),進(jìn)而得到
,結(jié)合上面關(guān)系可化簡(jiǎn)得:
,針對(duì)特征將
當(dāng)作一個(gè)整體,可轉(zhuǎn)化為關(guān)于
的函數(shù)
,對(duì)其求導(dǎo)分析得,
恒成立.
試題解析:解:(Ⅰ)由,得
,解得
2分
則=
,
利用導(dǎo)數(shù)方法可得的極小值為
5分
(Ⅱ)因與
有一個(gè)公共點(diǎn)
,而函數(shù)
在點(diǎn)
的切線方程為
,
下面驗(yàn)證都成立即可 7分
由,得
,知
恒成立 8分
設(shè),即
,易知其在
上遞增,在
上遞減,
所以的最大值為
,所以
恒成立.
故存在這樣的k和m,且 10分
(Ⅲ)的符號(hào)為正. 理由為:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/44/b/bwkhm.png" style="vertical-align:middle;" />有兩個(gè)零點(diǎn)
,則有
,兩式相減得
12分
即,于是
14分
①當(dāng)時(shí),令
,則
,且
.
設(shè),則
,則
在
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知二次函數(shù)h(x)=ax2+bx+c(其中c<3),其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖,f(x)=6lnx+h(x)
(1)求f(x)在x=3處的切線斜率;
(2)若f(x)在區(qū)間(m,m+)上是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若對(duì)任意k∈[-1,1],函數(shù)y=kx(x∈(0,6])的圖象總在函數(shù)y=f(x)圖象的上方,求c的取值范圍
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
.
(1)當(dāng)時(shí),求
在
處的切線方程;
(2)若在
內(nèi)單調(diào)遞增,求
的取值范圍.
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已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當(dāng)時(shí),不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
(Ⅲ)求證:(
,e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
是大于零的常數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求
的極值;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
上為單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)證明:曲線上存在一點(diǎn)
,使得曲線
上總有兩點(diǎn)
,且
成立.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),其中
,
.
(Ⅰ)若的最小值為
,試判斷函數(shù)
的零點(diǎn)個(gè)數(shù),并說(shuō)明理由;
(Ⅱ)若函數(shù)的極小值大于零,求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)求的單調(diào)區(qū)間及最大值;
(2)恒成立,試求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
已知函數(shù),
(Ⅰ)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)的最小值為
,求
的值.(參考數(shù)據(jù)
)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題
設(shè)函數(shù).
(1)當(dāng),
時(shí),求函數(shù)
的最大值;
(2)令,其圖象上存在一點(diǎn)
,使此處切線的斜率
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(3)當(dāng),
時(shí),方程
有唯一實(shí)數(shù)解,求正數(shù)
的值.
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