【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過點作平面，垂足為，連接，．證明在的垂直平分線上，則點在平面內(nèi)的射影在直線上，

（2）以點為坐標原點，以所在直線為軸，所在直線為軸，過點作平行于的向量為軸建立空間直角坐標系．設正方形的邊長為，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得角的正弦值．

（1）證明：過點A作AG⊥平面BCDE，垂足為G，連接GC，GD.

因為△ACD為等邊三角形，所以AC=AD，所以點G在CD的垂直平分線上.

又因為EF是CD的垂直平線，所以點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上.

另證：過點A作AG⊥EF，再證AG⊥CD，從而證得AG⊥平面BCDE，

即點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上

（2）解：以G為坐標原點，GA所在直線為z軸，GF所在直線為y軸，過點G作平行于DC的直線為x軸建立空間直角坐標系.

設正方形ABCD的邊長為2a，連接AF，

則 ，，

所以

設平面的一個法向量為，則，

令，得，又平面的一個法向量

所以，

.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】有以下命題：

①若函數(shù)f（x）既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，則f（x）的值域為{0}；

②若函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，則f（|x|）=f（x）；

③若函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，則f（x）不存在反函數(shù)；

④若函數(shù)f（x）存在反函數(shù)f﹣1（x），且f﹣1（x）與f（x）不完全相同，則f（x）與f﹣1（x）圖象的公共點必在直線y=x上；

其中真命題的序號是 ．（寫出所有真命題的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在中（圖1），，，為線段上的點，且.以為折線，把翻折，得到如圖2所示的圖形，為的中點，且，連接.

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若定義域均為D的三個函數(shù)f（x），g（x），h（x）滿足條件：對任意x∈D，點（x，g（x）與點（x，h（x）都關(guān)于點（x，f（x）對稱，則稱h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”．已知g（x）=，f（x）=2x+b，h（x）是g（x）關(guān)于f（x）的“對稱函數(shù)”，且h（x）≥g（x）恒成立，則實數(shù)b的取值范圍是_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知正方形ABCD，E，F分別為AB，CD的中點，將△ADE沿DE折起，使△ACD為等邊三角形，如圖所示，記二面角A-DE-C的大小為.

（1）證明：點A在平面BCDE內(nèi)的射影G在直線EF上；

（2）求角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】隨著小汽車的普及，“駕駛證”已經(jīng)成為現(xiàn)代人“必考”的證件之一.若某人報名參加了駕駛證考試，要順利地拿到駕駛證，他需要通過四個科目的考試，其中科目二為場地考試.在一次報名中，每個學員有5次參加科目二考試的機會（這5次考試機會中任何一次通過考試，就算順利通過，即進入下一科目考試；若5次都沒有通過，則需重新報名），其中前2次參加科目二考試免費，若前2次都沒有通過，則以后每次參加科目二考試都需要交200元的補考費.某駕校對以往2000個學員第1次參加科目二考試進行了統(tǒng)計，得到下表：

考試情況

男學員

女學員

第1次考科目二人數(shù)

1200

800

第1次通過科目二人數(shù)

960

600

第1次未通過科目二人數(shù)

240

200

若以上表得到的男、女學員第1次通過科目二考試的頻率分別作為此駕校男、女學員每次通過科目二考試的概率，且每人每次是否通過科目二考試相互獨立.現(xiàn)有一對夫妻同時在此駕校報名參加了駕駛證考試，在本次報名中，若這對夫妻參加科目二考試的原則為：通過科目二考試或者用完所有機會為止.

（1）求這對夫妻在本次報名中參加科目二考試都不需要交補考費的概率；

（2）若這對夫妻前2次參加科目二考試均沒有通過，記這對夫妻在本次報名中參加科目二考試產(chǎn)生的補考費用之和為元，求的分布列與數(shù)學期望.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】若四面體ABCD的三組對棱分別相等，即，，，給出下列結(jié)論：

①四面體ABCD每組對棱相互垂直；

②四面體ABCD每個面的面積相等；

③從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于而小于；

④連接四面體ABCD每組對棱中點的線段相互垂直平分；

⑤從四面體ABCD每個頂點出發(fā)的三條棱的長可作為一個三角形的三邊長.

其中正確結(jié)論的序號是（ ）

A.②④⑤B.①②④⑤C.①③④D.②③④⑤

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】“紋樣”是中國藝術(shù)寶庫的瑰寶，“火紋”是常見的一種傳統(tǒng)紋樣，為了測算某火紋紋樣（如圖陰影部分所示）的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向該正方形內(nèi)隨機投擲2000個點，己知恰有800個點落在陰影部分，據(jù)此可估計陰影部分的面積是

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】業(yè)界稱“中國芯”迎來發(fā)展和投資元年，某芯片企業(yè)準備研發(fā)一款產(chǎn)品，研發(fā)啟動時投入資金為A（A為常數(shù)）元，之后每年會投入一筆研發(fā)資金，n年后總投入資金記為，經(jīng)計算發(fā)現(xiàn)當時，近似地滿足，其中，為常數(shù)，.已知3年后總投入資金為研發(fā)啟動是投入資金的3倍，問：

（1）研發(fā)啟動多少年后，總投入資金是研發(fā)啟動時投入資金的8倍；

（2）研發(fā)啟動后第幾年投入的資金最多？

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