Question

12．已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+1（a∈R）
（1）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x＞0時，不等式f（x）＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的方程，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而求出a的具體范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=1時，f（x）=x³-x²+1，
f′（x）=3x（x-$\frac{2}{3}$）…2分
令f′（x）=0，得x=0或x=$\frac{2}{3}$ …3分
當(dāng)x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞，0）	0	（0，$\frac{2}{3}$）	$\frac{2}{3}$	（$\frac{2}{3}$，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	1	↘	$\frac{23}{27}$	↗

∴單調(diào)遞增區(qū)間為：（-∞，0），（$\frac{2}{3}$，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為：（0，$\frac{2}{3}$）…5分
（2）當(dāng)x＞0時，f（x）＞0恒成立，等價于f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的最小值恒大于0，
f′（x）=3x（x-$\frac{2a}{3}$）…6分
若a≤0，則當(dāng)x＞0時，f′（x）＞0恒成立，f（x）（0，+∞）上遞增，f（x）＞f（0）=1，不等式f（x）＞0恒成立；…7分
若a＞0，則當(dāng)x＞$\frac{2a}{3}$時，f′（x）＞0，f（x）在（$\frac{2a}{3}$，+∞）上遞增；
當(dāng)x∈（0，$\frac{2a}{3}$）時，f′（x）＜0，f（x）在（0，$\frac{2a}{3}$）上遞減；
當(dāng)x=$\frac{2a}{3}$時，f′（x）=0，f（x）取得最小值f（$\frac{2a}{3}$），
令f（$\frac{2a}{3}$）＞0，即$\frac{{8a}^{3}}{27}$-$\frac{{4a}^{3}}{9}$+1＞0，解得：a＜$\frac{3\root{3}{2}}{2}$；…9分
所以a的取值范圍為：（0，$\frac{3\root{3}{2}}{2}$）…10分．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，是一道中檔題．