Question

2．M為拋物線y²=8x上一點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN垂直該拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)N，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若四邊形OFMN的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，則該圓的面積為$\frac{27}{2}$π．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線方程，設(shè)M（m，n），可得N（-2，n），由四邊形OFMN的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，即有k_MF+k_ON=0，運(yùn)用直線的斜率公式，求得M，N的坐標(biāo)，再由正弦定理計(jì)算可得半徑R，即可得到所求圓的面積．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點(diǎn)F（2，0），準(zhǔn)線方程為x=-2，
設(shè)M（m，n），可得N（-2，n），
由四邊形OFMN的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，
即有k_MF+k_ON=0，
即為$\frac{n}{m-2}$+$\frac{n}{-2}$=0，
解得m=4，n=±4$\sqrt{2}$，
可設(shè)M（4，4$\sqrt{2}$），N（-2，4$\sqrt{2}$），
可得sin∠NOF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
|NF|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得，$\frac{|NF|}{sin∠NOF}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=2R（R為圓的半徑），
解得R=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，則該圓的面積為S=πR²=$\frac{27}{2}$π．
故答案為：$\frac{27}{2}$π．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程和性質(zhì)，考查圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：對(duì)角互補(bǔ)，正弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．