Question

2．M為拋物線y²=8x上一點，過點M作MN垂直該拋物線的準線于點N，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，若四邊形OFMN的四個頂點在同一個圓上，則該圓的面積為$\frac{27}{2}$π．

Answer 1

分析 求得拋物線的焦點和準線方程，設M（m，n），可得N（-2，n），由四邊形OFMN的四個頂點在同一個圓上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，即有k_MF+k_ON=0，運用直線的斜率公式，求得M，N的坐標，再由正弦定理計算可得半徑R，即可得到所求圓的面積．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點F（2，0），準線方程為x=-2，
設M（m，n），可得N（-2，n），
由四邊形OFMN的四個頂點在同一個圓上，
可得∠NMF+∠NOF=180°，
即有k_MF+k_ON=0，
即為$\frac{n}{m-2}$+$\frac{n}{-2}$=0，
解得m=4，n=±4$\sqrt{2}$，
可設M（4，4$\sqrt{2}$），N（-2，4$\sqrt{2}$），
可得sin∠NOF=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
|NF|=$\sqrt{（2+2）^{2}+（4\sqrt{2}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
由正弦定理可得，$\frac{|NF|}{sin∠NOF}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=2R（R為圓的半徑），
解得R=$\frac{3\sqrt{6}}{2}$，則該圓的面積為S=πR²=$\frac{27}{2}$π．
故答案為：$\frac{27}{2}$π．

點評 本題考查拋物線的方程和性質，考查圓的內接四邊形的性質：對角互補，正弦定理的運用，考查運算能力，屬于中檔題．