Question

如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，PA=AB＝2，∠BAD＝60°．

（Ⅰ）求證：直線BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）求直線與平面所成角的正切值；
（Ⅲ）已知M在線段PC上，且BM=DM=，CM=3，求二面角的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：因?yàn)樗倪呅?i>ABCD是菱形， 所以AC⊥BD． ………………1分
又因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BD， …3分
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225832179587.png" style="vertical-align:middle;" />，所以BD⊥平面PAC． ………………4分
（Ⅱ）
（Ⅲ）

(I)由條件易知AC⊥BD,然后再證PA⊥BD即可.
（II）本小題關(guān)鍵是找或做出PB與平面PAD所成的角，過B作，連結(jié)PE，
因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BE，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225832226574.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以BE⊥平面PAD．所以是直線與平面所成角．過B作，連結(jié)PE，
因?yàn)?i>PA⊥平面ABCD，  平面ABCD， 所以PA⊥BE
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823225832226574.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以BE⊥平面PAD． ………………５分
所以是直線與平面所成角． ………………６分
在△BEP中， ，， ………………７分
所以．
所以是直線與平面所成角的正切值． ………………８分
（Ⅲ）設(shè)F是ＭＣ的中點(diǎn)，連結(jié)ＢＦ，ＤＦ，
因?yàn)椋拢停剑拢�，△ＢＭＣ為等腰△�?br />所以ＢＦ⊥ＭＣ 同理ＤＦ⊥ＭＣ                ………………9分
所以為二面角的平面角．………１０分
在△中，………………１１分
由余弦定理得．
所以二面角的余弦值為．………………１2分