Question

【題目】有一批貨物需要用汽車從生產商所在城市甲運至銷售商所在城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響．據調查統(tǒng)，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如表：

所用的時間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過公路l的頻數(shù)	20	40	20	20
通過公路2的頻數(shù)	10	40	40	10

假設汽車A只能在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)，汽車B只能在約定日期的前12天出發(fā)（將頻率視為概率）．
（I）為了盡最大可能在各自允許的時間內將貨物運往城市乙，估計汽車A和汽車B應如何選擇各自的路徑；
（Ⅱ）若通過公路l、公路2的“一次性費用”分別為3.2萬元、1.6萬元（其他費用忽略不計），此項費用由生產商承擔．如果生產商恰能在約定日期當天將貨物送到，則銷售商一次性支付給生產商40萬元，若在約定日期前送到；每提前一天銷售商將多支付給生產商2萬元；若在約定日期后送到，每遲到一天，生產商將支付給銷售商2萬元．如果汽車A，B按（I）中所選路徑運輸貨物，試比較哪輛汽車為生產商獲得的毛利潤更大．

Answer 1

【答案】（I）頻率分布表，如下：

所用的時間（天數(shù)）	10	11	12	13
通過公路1的頻數(shù)	0.2	0.4	0.2	0.2
通過公路2的頻數(shù)	0.1	0.4	0.4	0.1

設A1 ， A2分別表示汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙；B1 ， B2分別表示汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙．
∵P（A1）=0.2+0.4=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∴汽車A選擇公路1，
∵P（B1）=0.2+0.4+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∴汽車A選擇公路2；
（II）設X表示汽車A選擇公路1，銷售商支付給生產商的費用，則X=42，40，38，36
X的分布列如下：

X	42	40	38	36
P	0.2	0.4	0.2	0.2

∴E（X）=42×0.2+40×0.4+38×0.2+36×0.2=39.2
∴汽車A選擇公路1時的毛利潤為39.2﹣3.2=36.0（萬元）
設Y為汽車B選擇公路2時的毛利潤，則Y=42.4，40.4，38.4，36.4
分布列如下

Y	42.4	40.4	38.4	36.4
P	0.1	0.4	0.4	0.1

∴E（Y）=42.4×0.1+40.4×0.4+38.4×0.4+36.4×0.1=39.4
∵36.0＜39.4，∴汽車B為生產商獲得毛利潤更大
【解析】（I）求出頻率分布表，計算汽車A在約定日期（某月某日）的前11天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙的概率；汽車B在約定日期（某月某日）的前12天出發(fā)選擇公路1，2將貨物運往城市乙的概率，即可得到結論；（II）分別確定汽車A、B為生產商獲得毛利潤的概率分布列，求出期望，比較期望值，即可得到結論．