Question

9．已知橢圓：C：$\frac{{x}^{2}}{9}$+y²=1，點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）．
（1）設(shè)P是橢圓C上任意的一點(diǎn)，Q是點(diǎn)P關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，記λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$，求λ的取值范圍；
（2）已知點(diǎn)D（-1，-$\frac{1}{2}$），E（1，-$\frac{1}{2}$），P是橢圓C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，記l為經(jīng)過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)P的直線，s為△DEM截直線l所得的線段長(zhǎng)，試將s表示成直線l的斜率k的函數(shù)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．利用數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)及其${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，即可得出．
（2）由P是橢圓C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．當(dāng)k∈$（0，\frac{1}{2}]$時(shí)，△DFM截直線l所得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是直線l：y=kx與直線DM，EM的交點(diǎn)為A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，聯(lián)立方程組可得直線的交點(diǎn)，利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得出．

解答 解：（1）設(shè)P（x₀，y₀），則Q（-x₀，-y₀），$\overrightarrow{MP}$=$（{x}_{0}，{y}_{0}-\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{MQ}$=$（-{x}_{0}，-{y}_{0}-\frac{1}{2}）$．
∴λ=$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=$-{x}_{0}^{2}$-${y}_{0}^{2}$+$\frac{1}{4}$，又${y}_{0}^{2}$=1-$\frac{{x}_{0}^{2}}{9}$，
∴$λ=-\frac{8{x}_{0}^{2}}{9}$-$\frac{3}{4}$，又${x}_{0}^{2}$∈[0，9]，∴λ∈$[-\frac{35}{4}，-\frac{3}{4}]$．
（2）∵P是橢圓C上在第一象限內(nèi)的點(diǎn)，則l的斜率k∈（0，+∞），且l：y=kx．
當(dāng)k∈$（0，\frac{1}{2}]$時(shí)，△DFM截直線l所得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是直線l：y=kx與直線DM，EM的交點(diǎn)為A，B，由已知DM：y=x+$\frac{1}{2}$，EM：y=-x+$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得A$（\frac{1}{2（k-1）}，\frac{k}{2（k-1）}）$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-x+\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得B$（\frac{1}{2（k+1）}，\frac{k}{2（k+1）}）$，
于是s=|AB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$|x_A-x_B|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$•$\frac{1}{1-{k}^{2}}$；
當(dāng)k∈$（\frac{1}{2}，+∞）$時(shí)，△DEM截直線l所得的線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是直線l：y=kx與直線DE，EM的交點(diǎn)G，B，由已知DE：y=-$\frac{1}{2}$，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，解得G$（-\frac{1}{2k}，-\frac{1}{2}）$，
于是s=s（k）=|GB|=$\sqrt{{k}^{2}+1}$$•\frac{2k+1}{2k（k+1）}$．
綜上所述，s=$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{1}{1-{k}^{2}}，k∈（0，\frac{1}{2}]}\\{\sqrt{{k}^{2}+1}•\frac{2k+1}{2k（k+1）}，k∈（\frac{1}{2}，+∞）}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、方程組與直線的交點(diǎn)、兩點(diǎn)之間的距離公式、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．