Question

20．焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸，中心在原點(diǎn)的雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)（3，-4），則雙曲線的離心率為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，結(jié)合題意雙曲線的漸近線過(guò)點(diǎn)（3，-4），可得其一條漸近線方程，分2種情況討論，若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，分析可得$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，由離心率公式計(jì)算可得此時(shí)雙曲線離心率，若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，同理分析可得此時(shí)雙曲線離心率，綜合可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，若該雙曲線的漸進(jìn)線過(guò)點(diǎn)（3，-4），則其一條漸近線方程為：y=-$\frac{4}{3}$x，
分2種情況討論：
若雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則有$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{4}{3}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{5}{3}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$；
若雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)雙曲線的方程為：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1，則其漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
則有$\frac{a}$=$\frac{4}{3}$，即b=$\frac{3}{4}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{5}{4}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$；
綜合可得：雙曲線的離心率為$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．
故答案為：$\frac{5}{3}$或$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，注意雙曲線的焦點(diǎn)的位置．