Question

19．設(shè)數(shù)列{a_n}滿足a₂+a₄=10，點P_n（n，a_n）對任意的n∈N^*，都有向量$\overrightarrow{{P_n}{P_{n+1}}}=（{1，2}）$，則數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=n²．

Answer 1

分析 運用向量的坐標(biāo)運算和等差數(shù)列的定義得{a_n}等差數(shù)列，公差d=2，將a₂=a₁+2，代入a₂+a₄=10，中，得a₁=1，由此能求出{a_n}的前n項和S_n．

解答 解：∵P_n（n，a_n），∴P_n+1（n+1，a_n+1），
$\overrightarrow{{P}_{n}{P}_{n+1}}$=（1，a_n+1-a_n）=（1，2），
∴a_n+1-a_n=2，
∴{a_n}等差數(shù)列，公差d=2，
將a₂=a₁+2，a₄=a₁+6代入a₂+a₄=10中，
解得a₁=1，
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1，
∴S_n=$\frac{1}{2}$n（1+2n-1）=n²．
故答案為：n²．

點評 本題考查數(shù)列的前n項和的求法，同時考查向量的坐標(biāo)運算，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列的通項公式的合理運用．