Question

9．如圖，半圓AOB是某愛國主義教育基地一景點的平面示意圖，半徑OA的長為1百米．為了保護景點，基地管理部門從道路l上選取一點C，修建參觀線路C-D-E-F，且CD，DE，EF均與半圓相切，四邊形CDEF是等腰梯形，設DE=t百米，記修建每1百米參觀線路的費用為f（t）萬元，經(jīng)測算f（t）=$\left\{\begin{array}{l}{5，0＜t≤\frac{1}{3}}\\{8-\frac{1}{t}，\frac{1}{3}＜t＜2}\end{array}\right.$

（1）用t表示線段EF的長；
（2）求修建參觀線路的最低費用．

Answer 1

分析 （1）設DQ與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，以CF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，建立平面直角坐標系xoy．設EF與圓切于G點，連接OG，過點E作EH⊥OF，垂足為H．可得Rt△EHF≌Rt△OGF，HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．利用EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，解得EF．
（2）設修建該參觀線路的費用為y萬元．
①當$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．利用y′，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上單調遞減，即可得出y的最小值．
②當$\frac{1}{3}＜t＜2$時，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性極值最值即可得出．

解答 解：（1）設DQ與半圓相切于點Q，則由四邊形CDEF是等腰梯形知，OQ⊥DE，
以CF所在直線為x軸，OQ所在直線為y軸，
建立平面直角坐標系xoy．
設EF與圓切于G點，連接OG，過點E作EH⊥OF，垂足為H．
∵EH=OG，∠OFG=∠EFH，∠GOF=∠HEF，
∴Rt△EHF≌Rt△OGF，∴HF=FG=EF-$\frac{1}{2}$t．
∴EF²=1+HF²=1+$（EF-\frac{1}{2}t）^{2}$，
解得EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）．
（2）設修建該參觀線路的費用為y萬元．
①當$0＜t≤\frac{1}{3}$，由y=5$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=5$（\frac{3}{2}t+\frac{2}{t}）$．y′=$5（\frac{3}{2}-\frac{2}{{t}^{2}}）$＜0，可得y在$（0，\frac{1}{3}]$上單調遞減，
∴t=$\frac{1}{3}$時，y取得最小值為32.5．
②當$\frac{1}{3}＜t＜2$時，y=$（8-\frac{1}{t}）$$[2（\frac{t}{4}+\frac{1}{t}）+t]$=12t+$\frac{16}{t}$-$\frac{3}{2}$-$\frac{2}{{t}^{2}}$．
y′=12-$\frac{16}{{t}^{2}}$+$\frac{2}{{t}^{3}}$=$\frac{4（t-1）（3{t}^{2}+3t-1）}{{t}^{3}}$．
∵$\frac{1}{3}＜t＜2$，∴3t²+3t-1＞0．
∴t∈$（\frac{1}{3}，1）$時，y′＜0，函數(shù)y此時單調遞減；t∈（1，2）時，y′＞0，函數(shù)y此時單調遞增．
∴t=1時，函數(shù)y取得最小值24.5．
由 ①②知，t=1時，函數(shù)y取得最小值為24.5．
答：（1）EF=$\frac{t}{4}$+$\frac{1}{t}$（0＜t＜2）（百米）．（2）修建該參觀線路的最低費用為24.5萬元．

點評 本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值、不等式的性質、直線與圓相切的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．