Question

已知α、β都是銳角，且

sinβ

sinα

=cos（α+β）．
（1）求證：tanβ=

tanα

1+2tan2α

；
（2）當tanβ取最大值時，求tan（α+β）的值．

Answer 1

分析：（1）首先根據(jù)兩角和與差公式得出tanβ=sinαcosα-sin²αtanβ，進而得出（1+sin²α）tanβ=sinαcosα，然后通過同角三角函數(shù)的基本關系證明即可．
（2）先由均值不等式得出tanβ≤

1

2 2

，求出tanα的值，進而得出tanβmax，然后根據(jù)兩角和與差公式得出結果．

解答：證明：∵tanβ=

sinβ

cosβ

=

sinαcos(α+β)

cosβ

=

sinα(cosαcosβ-sinαsinβ)

cosβ

=sinαcosα-sin²αtanβ
∴（1+sin²α）tanβ=sinαcosα
∴tanβ=

sinαcosα

1+sin2α

=

tanα

1+sin2α cos2α

=

tanα

cos2α+2sin2α cos2α

=

tanα

1+2tan2α

（2）解：∵tanα＞0，tanβ＞0
∴tanβ=

1

1 tanα +2tanα

≤

1

2 2

當且僅當

1

tanα

=2tanα，即tanα=

2

2

時，
tanβ_max=

2 2

1+2× 1 2

=

2

4

∴tan（α+β）=

2 2 + 2 4

1- 2 2 × 2 4

=

3 2

4

×

4

3

=

2

點評：此題考查了兩角和與差公式、同角三角函數(shù)的基本關系，熟練掌握公式解題的關鍵，此題綜合性較強，屬于中檔題．