Question

已知函數(shù)f（x）=ln

x+1

x-1

．
（1）若x∈[2，6]，f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立，求實(shí)數(shù)m的范圍；
（2）當(dāng)n∈N^*，試比較f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）與2n+2n²的大小關(guān)系．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

恒成立整理變形得到0＜m＜（x-1）（7-x），利用二次函數(shù)求出最小值后得m得范圍；
（2）化簡f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n），構(gòu)造函數(shù)h（x）=ln（x+1）-（x+

x2

2

）（x＞0），求導(dǎo)求其最大值，取x=2n得到f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）與2n+2n²的大小關(guān)系．

解答： 解：（1）∵f（x）=ln

x+1

x-1

，
當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，f（x）＞ln

m

(x-1)(7-x)

，
∴

x+1

x-1

＞

m

(x-1)(7-x)

，x+1＞

m

7-x

．
∴0＜m＜（x+1）（7-x）．
令g（x）=（x+1）（7-x）=-（x-3）²+16，
當(dāng)x∈[2，6]時(shí)，g（x）_min=g（6）=7．
∴0＜m＜7；
（2）f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）
=ln（2n+1）．
令h（x）=ln（x+1）-（x+

x2

2

）（x＞0），
h′(x)=

-x2-2x

x+1

，
∵x＞0，
∴h′(x)=

-x2-2x

x+1

＜0，
h（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴h（x）＜h（0）=0．
取x=2n得f（2）+f（4）+f（6）+…+f（2n）＜2n+2n²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了恒成立問題，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．