Question

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0．
（1）若a，b是一枚骰子擲兩次所得到的點數(shù)，求方程有實根的概率；
（2）若a∈[2，6]，b∈[0，4]，求方程沒有實根的概率．

Answer 1

分析 （1）本題是一個古典概型，用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個滿足條件的事件是二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有實根，根據(jù)實根與系數(shù)的關(guān)系式，得到概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}，做出兩者的面積，得到概率

解答 解：（1）由題意知本題是一個古典概型
用（a，b）表示一枚骰子投擲兩次所得到的點數(shù)的事件
依題意知，基本事件（a，b）的總數(shù)有36個
二次方程x²-2（a-2）x-b²+16=0有實根，
等價于
△=4（a-2）²+4（b²-16）≥0，
即（a-2）²+b²≥16，
“方程有兩個根”的事件為A，則事件A包含的基本事件為（1，6），（1，5）．（1，4），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，4），（4，5），（4，6），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1）、（6，2）、（6，3）、（6，4），（6，5），（6，6），共22個
∴所求的概率為P（A）=$\frac{22}{36}=\frac{11}{18}$；
（2）由題意知本題是一個幾何概型，；
試驗的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4}，
其面積為S（Ω）=16
滿足條件的事件為：B={（a，b）|2≤a≤6，0≤b≤4，（a-2）²+b²＜16}
其面積為S（B）=$\frac{1}{4}$×π×42=4π
∴所求的概率P（B）=$\frac{4π}{16}=\frac{π}{4}$；

點評 本題考查古典概型和幾何概型，幾何概型和古典概型是高中必修中學(xué)習(xí)的，高考時常以選擇和填空出現(xiàn)，有時文科會考這種類型的解答題目