Question

14．（1）求函數(shù)$y={x^4}-\frac{1}{3}{x^3}$的極值．
（2）求由直線y=x-2和曲線y=-x²所圍成的圖形的面積．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)為0，求出極值點(diǎn)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值．
（2）利用定積分的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解即可．

解答 （1）解：y′=4x³-x²．
令y′=0，即4x³-x²=0，解得x₁=x₂=0，${x_3}=\frac{1}{4}$．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	�。�-∞，0）	0	$（0，\frac{1}{4}）$	$\frac{1}{4}$	$（\frac{1}{4}，+∞）$
f′（x）	-	0	-	0	+
f（x）	↘	/	↘	極小值	↗

因此，當(dāng)$x=\frac{1}{4}$時(shí)，f（x）有極小值，且$f（\frac{1}{4}）=-\frac{1}{768}$．
（2）解：聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}y=x-2\\ y=-{x^2}\end{array}\right.$，得x₁=-2，x₂=1．
所以，$A=\int_{-2}^1{（x-2}）dx-\int_{-2}^1{（-{x^2}）dx}=（\frac{x^2}{2}-2x）|_{-2}^1+\frac{x^3}{3}|_{-2}^1=-\frac{9}{2}$，故所求面積$S=\frac{9}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值，以及單調(diào)性的判斷，定積分的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．