Question

（2012•湘潭模擬）若x+2y+

3

z=1，則x²+y²+z²的最小值為

1

8

．

Answer 1

分析：根據(jù)柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2，由此可得結(jié)論．

解答：解：根據(jù)柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2
∵x+2y+

3

z=1
∴x²+y²+z²≥

1

8

當(dāng)且僅當(dāng)x=

y

2

=

z

3

時(shí)，x²+y²+z²的最小值為

1

8

故答案為：

1

8

點(diǎn)評(píng)：柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造．一般而言，“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”越明顯，則構(gòu)造越容易，而對(duì)于“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”不夠明顯的問題，則須將原問題作適當(dāng)變形，使“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”明顯化，從而利用柯西不等式進(jìn)行證明．