Question

（2013•杭州二模）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}中，a₂=2，2a₃，a₅，3a₄成等差數(shù)列，數(shù)列{b_n}滿足b_n=21og₂a_n+1．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）設S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，數(shù)列{c_n}滿足cn=

Sn-4n

nan

．當c_n最大時，求n的值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結合等差中項的定義列式，得2×2q³=2×2q+3×2q²，解之得q=2（舍負），由此算出a₁的值，即可得到數(shù)列{a_n}的通項公式；
（II）根據(jù)對數(shù)的運算法則，結合a_n=2^n-1算出b_n=2n，從而得到{b_n}構成首項為b₁=2，公差為2的等差數(shù)列，得出{b_n}的前n項和S_n=n²+n，由此化簡c_n得c_n=

n-3

2n-1

．注意到n≤3時c_n≤0，可得c_n的最大值在n≥4時取到，給出

cn+1

cn

=

n-2

2(n-3)

并研究它的取值，可得當n=4時，c₄=c₅；當n≥5時，c₅＞c₆＞…＞c_n，由此即可得到當c_n最大時，求n的值為4或5．

解答：解：（I）設等比數(shù)列{a_n}的公比為q，則
∵a₂=2，且2a₃、a₅、3a₄成等差數(shù)列，可得2a₅=2a₃+3a₄，
∴2×2q³=2×2q+3×2q²，解之得q=2（舍負）
由此可得a₁=

a2

q

=1，得數(shù)列{a_n}的通項公式為a_n= a1qn-1=2n-1；
（II）∵a_n=2^n-1，∴b_n=21og₂a_n+1=21og₂2ⁿ=2n，
由b_n+1-b_n=2，得{b_n}構成首項為b₁=2，公差為2的等差數(shù)列
∴{b_n}的前n項和S_n=

n(2+2n)

2

=n²+n
因此，cn=

Sn-4n

nan

=

(n2+n)-4n

n•2n-1

=

n-3

2n-1

∵n≤3時，c_n≤0；n≥4時，c_n＞0
∴c_n的最大值在n≥4時才能取到
又∵

cn+1

cn

=

n-2 2n

n-3 2n-1

=

n-2

2(n-3)

，當n=4時，

c5

c4

=

4-2

2(4-3)

=1，
而當n≥5時，

cn+1

cn

=

n-2

2(n-3)

=

1

2

+

1

2(n-3)

≤

3

4

＜1
∴當n=4時，c₄=c₅；當n≥5時，c₅＞c₆＞c₇＞…＞c_n．
由此可得c₄=c₅為c_n的最大值，即當c_n最大時，求n的值為4或5．

點評：本題給出等比數(shù)列中2a₃、a₅、3a₄成等差數(shù)列，求數(shù)列{a_n}的通項公式并依此求數(shù)列{c_n}取最大值項時n的取值．著重考查了等差數(shù)列、等比的通項公式，等差數(shù)列的前n項公式，考查了數(shù)列單調(diào)性的探討和最大項或最小項的求法等知識，屬于中檔題．