Question

定義在R上的奇函數(shù)f（x）有最小正周期為2，且x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性；
（3）當(dāng)λ為何值時，方程f（x）=λ在x∈[-1，1]上有實數(shù)解．

Answer 1

分析：（1）由f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，得f（0）=0．再由最小正周期為2，得到（1）和f（-1）的值．然后求（-1，0）上的解析式，通過在（-1，0）上取變量，轉(zhuǎn)化到（0，1）上，應(yīng)用其解析式求解．
（2）用定義，先任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．
（3）根據(jù)題意，求得f（x）在[-1，1]上的值域即可．

解答：解：（1）∵f（x）是x∈R上的奇函數(shù)，
∴f（0）=0．
又∵2為最小正周期，
∴f（1）=f（1-2）=f（-1）=-f（1）=0．
設(shè)x∈（-1，0），則-x∈（0，1），f(-x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

=-f(x)，
∴f(x)=-

2x

4x+1

，
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{-1，0，1} 2x 4x+1 ，x∈(0，1).

（2）設(shè)0＜x₁＜x₂＜1，
f（x₁）-f（x₂）=

(2x1-2x2)+(2x1+2x2-2x2+2x1)

(4x1+1)(4x2+1)

=

(2x1-2x2)(1-2x1+x2)

(4x1+1)(4x2+1)

＞0，
∴f（x）在（0，1）上為減函數(shù)．

（3）∵f（x）在（0，1）上為減函數(shù)，
∴

21

41+1

＜f(x)＜

20

40+1

，
即f（x）∈（

2

5

，

1

2

）．
同理，x在（-1，0）上時，f（x）∈（-

1

2

，-

2

5

）．
又f（-1）=f（0）=f（1）=0，
∴當(dāng)λ∈（-

1

2

，-

2

5

）∪（

2

5

，

1

2

）或λ=0時，f（x）=λ在[-1，1]內(nèi)有實數(shù)解．

點評：本題主要考查如何利用求對稱區(qū)間上的解析式，特別注意端點問題，還考查了用定義證明單調(diào)性求分段函數(shù)值域問題．