Question

已知函數(shù)f（x）=-

2

sin(2x+

π

4

)+6sinxcosx-2cos2x+1．
（1）寫出函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱軸方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]的最值以及取得最值時(shí)的相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：將已知函數(shù)利用三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式化簡(jiǎn)解析式為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，然后解答．

解答： 解：由已知，f（x）=-sin2x-cos2x+3sin2x-cos2x=2sin2x-2cos2x=2

2

sin（2x-

π

4

），
所以（1）函數(shù)f（x）的最小正周期為

2π

2

=π；
對(duì)稱軸方程為2x-

π

4

=kπ+

π

2

，即x=

kπ

2

+

3π

8

，k∈Z；
（2）因?yàn)閤∈[0，

π

2

]，所以2x-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

]，
所以f（x）=2

2

sin（2x-

π

4

）在x∈[0，

π

2

]的最大值為2

2

，此時(shí)2x-

π

4

=

π

2

，解得x=

3π

8

；最小值為-2，此時(shí)2x-

π

4

=-

π

4

，解得x=0；

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的有關(guān)公式的運(yùn)用化簡(jiǎn)三角函數(shù)式以及三角函數(shù)周期和最值的求法，屬于中檔題．