Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥底面ABC，AC=BC，M，N分別是CC₁，AB的中點．
（Ⅰ）求證：CN⊥AB₁；
（Ⅱ）求證：CN∥平面AB₁M．

Answer 1

證明：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，
所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN．…（1分）
因為AC=BC，N是AB的中點，
所以CN⊥AB． …（3分）
因為AB∩BB₁=B，…（4分）
所以CN⊥平面AB B₁A₁． …（5分）
所以CN⊥AB₁． …（6分）
（Ⅱ）證法一：連接A₁B交AB₁于P． …（7分）
因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁，
所以P是A₁B的中點．
因為M，N分別是CC₁，AB的中點，
所以NP∥CM，且NP=CM，…（9分）
所以四邊形MCNP是平行四邊形，…（10分）
所以CN∥MP． …（11分）
因為CN?平面AB₁M，MP?平面AB₁M，…（12分）
所以CN∥平面AB₁M． …（14分）
證法二：取BB₁中點P，連接NP，CP． …（7分）
因為N，P分別是AB，BB₁的中點，
所以NP∥AB₁．
因為NP?平面AB₁M，AB₁?平面AB₁M，
所以NP∥平面AB₁M． …（10分）
同理 CP∥平面AB₁M． …（11分）
因為CP∩NP=P，
所以平面CNP∥平面AB₁M． …（13分）
因為CN?平面CNP，
所以CN∥平面AB₁M． …（14分）
分析：（Ⅰ）因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁中CC₁⊥底面ABC，所以BB₁⊥平面ABC，所以BB₁⊥CN，由此利用直線垂直于平面的性質，能夠證明CN⊥AB₁．
（Ⅱ）法一：連接A₁B交AB₁于P．因為三棱柱ABC-A₁B₁C₁，所以P是A₁B的中點．再利用直線平行于平面的判定理，能夠證明CN∥平面AB₁M．
法二：取BB₁中點P，連接NP，CP．因為N，P分別是AB，BB₁的中點，所以NP∥AB₁．再由平面與平面平行的性質定理，能夠證明CN∥平面AB₁M．
點評：本題考查直線與直線垂直的證明和直線與平面的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地化立體問題為平面問題．