Question

求函數(shù)f(x)=x³-3ax+2的極值，并說(shuō)明方程x³-3ax+2=0何時(shí)有三個(gè)不同的實(shí)根？何時(shí)有唯一的實(shí)根（其中a＞0）?

Answer 1

解:函數(shù)的定義域?yàn)镽，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)=3x²-3a.

由f′(x)=0可得x=±,列表討論如下：

x	(-∞,-a)	-a	(-a,a)	a	(a,+∞)
f′(x)	+	0	-	0	+
f(x)		極大值		極小值

 

由此可得，函數(shù)在x=-處取得極大值2+2a,在x=處取得極小值2-2a.

根據(jù)列表討論，可作函數(shù)的草圖（如圖），因?yàn)闃O大值f(-)=2+2a＞0,故當(dāng)極小值f()=2-2a＜0,即a＞1時(shí)，方程x³-3ax+2=0有三個(gè)不同的實(shí)根；當(dāng)極小值f()=2-2a＞0，即0＜a＜1時(shí)，方程x³-3ax+2=0有唯一的實(shí)根.