Question

13．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側棱與底面成60°角，點B₁在底面上的射影D為BC的中點，BC=2，二面角A-BB₁-C為30°（如圖）．
（1）求證：平面BCC₁B₁⊥平面ABC；
（2）求證：AC⊥面BCC₁B₁；
（3）求多面體A-BCC₁B₁的體積V；
（4）求AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正切．

Answer 1

分析 （1）由已知得AC⊥B₁D，AC⊥BC，從而AC⊥面BCC₁B₁，由此能證明平面BCC₁B₁⊥平面ABC．
（2）由射影性質得AC⊥B₁D，由直角性質得AC⊥BC，由此能證明AC⊥面BCC₁B₁．
（3）取BB₁中點E，連結CE、AE，則CE⊥BB₁，∠AEC是二面角A-BB₁-C的平面角，從而求出AC=1，由此能求出多面體A-BCC₁B₁的體積．
（4）以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，過C垂直于平南ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正切值．

解答 （1）證明：∵點B₁在底面上的射影D為BC的中點，
∴B₁D⊥底面ABC，又AC?面ABC，∴AC⊥B₁D，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵BC∩B₁D=D，∴AC⊥面BCC₁B₁，
∵AC?平面ABC，
∴平面BCC₁B₁⊥平面ABC．
（2）證明：：∵點B₁在底面上的射影D為BC的中點，
∴B₁D⊥底面ABC，又AC?面ABC，∴AC⊥B₁D，
∵∠ACB=90°，∴AC⊥BC，
∵BC∩B₁D=D，∴AC⊥面BCC₁B₁．
（3）解：斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是直角三角形，∠ACB=90°，側棱與底面成60°角，
點B₁在底面上的射影D為BC的中點，BC=2，
∴∠B₁BD=60°，∴△BB₁C是邊長為2的等邊三角形，BD=1，BB₁=2，B₁D=$\sqrt{3}$，
∴${S}_{四邊形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=BC×B₁D=2$\sqrt{3}$，
取BB₁中點E，連結CE、AE，則CE⊥BB₁，由三垂線定理得AE⊥BB₁，
∴∠AEC是二面角A-BB₁-C的平面角，
∵二面角A-BB₁-C為30°，∴∠AEC=30°，
∵△BB₁C是邊長為2的等邊三角形，∴CE=$\sqrt{3}$，∴AC=1，
∴多面體A-BCC₁B₁的體積V=$\frac{1}{3}×AC×{S}_{四邊形BC{C}_{1}{B}_{1}}$=$\frac{1}{3}×1×2\sqrt{3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（4）解：以C為原點，CB為x軸，CA為y軸，過C垂直于平南ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（0，1，0），B₁（1，0，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），${C}_{1}（-1，0，\sqrt{3}）$，
$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（1，-1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{CA}$=（0，1，0），$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，0，$\sqrt{3}$），
設平面ACC₁A₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CA}=y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{C{C}_{1}}=-x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，取z=1，得$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}，0，1$），
設AB₁與平面ACC₁A₁所成角為θ，
則cosθ=|cos＜$\overrightarrow{A{B}_{1}}$，$\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{5}×2}$|=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∴AB₁與平面ACC₁A₁所成角的正切值為$\frac{\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查線面垂直、面面垂直的證明，考查多面體的體積的求法，考查線面角的正切值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．