Question

9．在空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，E，F(xiàn)分別邊AB，BC上的點(diǎn)，且$\frac{CF}{FB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{3}$．求證：
①點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
②直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．

Answer 1

分析 ①利用三角形的中位線平行于第三邊和平行線分線段成比例定理，
得到EF、GH都平行于AC，由平行線的傳遞性得到EF∥GH，
根據(jù)兩平行線確定一平面得出證明；
（2）利用分別在兩個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)在這兩個(gè)平面的交線上，即可證明．

解答 證明：①如圖所示，

空間四邊形ABCD中，H，G分別是AD，CD的中點(diǎn)，
∴HG∥AC；
又$\frac{CF}{FB}$=$\frac{AE}{EB}$=$\frac{1}{3}$，
∴EF∥AC，
∴EF∥HG，
E、F、G、H四點(diǎn)共面；
②設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，
∵EH?平面ABD
∴P在平面ABD內(nèi)，
同理P在平面BCD內(nèi)，
且平面ABD∩平面BCD=BD，
∴點(diǎn)P在直線BD上，
∴直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件以及三線共點(diǎn)的應(yīng)用問題．